Esboce o gráfico da função:
f(x)=|x+2|-2

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de
f(x)=|x+2|-2.
Aqui o conteúdo é o estudo de transformações do gráfico da função valor absoluto ,y=|x|. Vamos usar as noções de translação horizontal e vertical para chegar ao gráfico de f.

Passo 2

Começamos lembrando que o gráfico de
y=|x|
é um “V” com vértice em (0,0), ramo direito de inclinação +1 para x>=0 e ramo esquerdo de inclinação -1 para x<0.

Passo 3

A expressão ,|x+2| corresponde ao gráfico de ,|x| transladado 2 unidades para a esquerda. Assim obtemos um “V” com vértice em (-2,0) e os mesmos declives pm1.

Passo 4

Agora subtrair 2, ou seja considerar |x+2|-2, desloca tudo 2 unidades para baixo. Logo o vértice que antes estava em (-2,0) passa a ficar em (-2,-2).

Passo 5

Para detalhar, escrevemos f em forma piecewise. Note que x+2>=0 equivale a x>=-2. Então
f(x)=|x+2|-2= -(x+2)-2, & x< -2, (x+2)-2, & x>= -2
Simplificando cada ramo:
f(x)= -x-4, & x< -2, x, & x>= -2

Passo 6

Podemos agora listar pontos chave e inclinações:
  • Vértice: (-2,-2).
  • Para x>=-2: reta de inclinação +1 que passa por (-2,-2) e atinge em x=0 o ponto (0,0).
  • Para x< -2: reta de inclinação -1 que em x=-4 f(-4)=0, ponto (-4,0).

Resposta

O gráfico de f(x)=|x+2|-2 é um “V” com vértice em (-2,-2), ramo esquerdo com inclinação -1 passando por (-4,0), e ramo direito com inclinação +1 passando por (0,0).

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