1. Explique o Teorema que garante que a combinação linear de duas soluções linearmente independentes de uma EDO homogênea forma a solução geral.

Passo 1

O enunciado pede que a gente explique o Teorema que diz que, dadas duas soluções linearmente independentes de uma equação diferencial ordinária (EDO) linear homogênea de segunda ordem, qualquer outra solução é uma combinação linear delas. O conteúdo aqui é a teoria de EDOs lineares homogêneas, em particular o princípio da superposição e a estrutura do espaço de soluções.

Passo 2

Começamos lembrando as hipóteses gerais. Considere a EDO
y'' + p(x),y' + q(x),y = 0
em um intervalo I, onde p e q são funções contínuas em I. Pelo Teorema de existência e unicidade, o conjunto de todas as soluções dessa EDO forma um espaço vetorial de dimensão dois sobre R.

Passo 3

Defina linearmente independência: duas soluções y1 e y2 são independentes se não existem constantes C1,C2, não ambas nulas, tais que
C1,y1(x) + C2,y2(x) equiv 0
em todo I. Equivalentemente, o Wronskiano
W(y1,y2)(x) = y1 & y2 y1' & y2'
é diferente de zero em I.

Passo 4

Pela linearidade do operador diferencial L[y]=y''+p(x)y'+q(x)y, se y1 e y2 são soluções, então para quaisquer constantes C1,C2
L[C1,y1 + C2,y2] = C1,L[y1] + C2,L[y2] = 0 + 0 = 0,
logo C1,y1 + C2,y2 também é solução (princípio da superposição).

Passo 5

Como o espaço de soluções é de dimensão dois e y1,y2 é um conjunto de duas soluções independentes, ele forma uma base desse espaço. Isso significa que qualquer outra solução y pode ser escrita de modo único como
y(x) = C1,y1(x) + C2,y2(x)
para certos C1,C2inR. Essa é a ideia essencial do Teorema da Superposição.

Resposta

O Teorema da Superposição diz que, para a EDO
y'' + p(x),y' + q(x),y = 0
com p,q contínuas em um intervalo I, se y1 e y2 são duas soluções linearmente independentes (isto é, com W(y1,y2)neq0), então a solução geral em I é
y(x) = C1,y1(x) + C2,y2(x),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados