Resolva os problemas abaixo.
a) Calcule a massa do sólido
, supondo que a densidade no ponto
é proporcional à distância desse ponto ao plano
.
b) Calcule a massa do cone
, sendo a densidade no ponto (
) proporcional ao quadrado da distância do ponto ao eixo
.
c) Seja
. Se a densidade no ponto
é diretamente proporcional à distância do ponto ao plano
, determine a massa e o centro de massa de
.
d) Encontre a massa do sólido no primeiro octante interior ao cilindro
e abaixo da esfera
. A densidade de massa varia com a distância do ponto ao plano
.
e) Calcule o momento de inércia do corpo homogêneo
, em relação ao eixo
.
f) Calcule o momento de inércia do cubo homogêneo
e
, em relação a um eixo que contém uma das arestas.
g) Determine o centro de massa de uma semi-esfera, cuja densidade no ponto
é proporcional à distância de
ao centro.
h) Seja
um ponto interior de B. Para cada natural
, seja
uma bola de centro
e raio
, com
. Suponha que
quando
. Seja
o volume de
. Prove que