Considere o espaço vetorial V=R^3. Seja W=(x, y, z) in R^3 ; x+2 y-z=0 subset V.
Determine uma base ortonormal para W.

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal de WsubsetR^3 definido por
W=(x,y,z)inR^3 mid x+2y-z=0
Para isso vamos (i) encontrar uma base qualquer de W e (ii) aplicar o processo de Gram–Schmidt seguido de normalização.

Passo 2

Resolvendo a equação x+2y-z=0 obtemos x=-2y+z. Logo podemos parametrizar
(x,y,z)=(-2y+z,;y,;z)=y,(-2,1,0)+z,(1,0,1)
Assim uma base de W é
v1 = (-2,1,0), v2=(1,0,1)

Passo 3

Aplicamos Gram–Schmidt a v1,v2. Definimos
u1 = v1,
u2 = v2 - proju1(v2) = v2 - lang<= v2,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=,u1
Calculamos
lang<= v2,u1rang<= = 1cdot(-2)+0cdot1+1cdot0=-2
e
lang<= u1,u1rang<= = (-2)^2+1^2+0^2=5.
Logo
proju1(v2) = -25,u1 = -25(-2,1,0) = l(tfrac45,-tfrac25,0r),
u2 = (1,0,1) - l(tfrac45,-tfrac25,0r) = l(tfrac15,tfrac25,1r)

Passo 4

Agora normalizamos u1 e u2.
|u1| = raiz5, |u2| = raizl(tfrac15r)^2+l(tfrac25r)^2+1^2 = raiztfrac1+4+2525 = raiz305
Então definimos
e1 = u1|u1| = l(-tfrac2raiz5,tfrac1raiz5,0r), e2 = u2|u2| = l(tfrac1raiz30,tfrac2raiz30,tfrac5raiz30r)
Esses vetores são ortonormais e pertencem a W.

Resposta

(-tfrac2raiz5,tfrac1raiz5,0)
(tfrac1raiz30,tfrac2raiz30,tfrac5raiz30)

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