Caso seja possível, escreva o vetor v=(7,19,9) como combinação linear dos vetores
u1=(1,3,2), u2=(2,1,2), u3=(2,2,1)

Passo 1

O enunciado pede para escrever o vetor v=(7,19,9) como combinação linear dos vetores
u1=(1,3,2), u2=(2,1,2), u3=(2,2,1)
O conteúdo aqui é sistema linear: se existem escalares alpha,beta,gamma tais que
alpha,u1+beta,u2+gamma,u3=v,
então podemos igualar componentes e resolver o sistema para alpha,beta,gamma.

Passo 2

Escrevendo a combinação e igualando componente a componente, temos
alpha + 2beta + 2gamma = 7,
3alpha + beta + 2gamma = 19,
2alpha + 2beta + gamma = 9
Agora vamos resolver esse sistema para alpha,beta,gamma.

Passo 3

Da primeira equação isolamos
alpha = 7 - 2beta - 2gamma
Substituindo em
3alpha + beta + 2gamma = 19
e em
2alpha + 2beta + gamma = 9,
obtemos, respectivamente,
5beta + 4gamma = 2,
2beta + 3gamma = 5

Passo 4

Resolvendo o sistema
5beta + 4gamma = 2,
2beta + 3gamma = 5
podemos fazer, por exemplo,
10beta + 8gamma = 4, 10beta +15gamma =25,
subtraindo a primeira da segunda vem
7gamma = 21Longrightarrow gamma = 3,
e então
2beta + 3cdot3 = 5Longrightarrow 2beta = -4Longrightarrow beta = -2

Passo 5

Voltando à expressão de alpha,
alpha = 7 - 2(-2) - 2cdot3 = 7 +4 -6 = 5
Logo encontramos alpha=5, beta=-2, gamma=3.

Resposta

v = 5,u1 ;-;2,u2;+;3,u3

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