Verifique se o conjunto X=v1, v2, v3 gera R^3 e, caso gere, escreva v como combinação linear de v1, v2, v3.
a) v1=(1,3,2), v2=(2,1,3), v3=(2,5,1), v=(2,12,2);
b) v1=(-1,-2,-4), v2=(-2,-1,1), v3=(3,1,3), v=(1,1,-1).

Passo 1

O enunciado pede para cada conjunto X=v1,v2,v3subsetR^3 verificar se ele gera R^3 e, caso positivo, expressar v como combinação linear de v1,v2,v3. O critério prático é calcular o determinante da matriz cujas colunas são v1,v2,v3: se detneq0, então X é base de R^3 e gera todo o espaço. Depois basta resolver o sistema linear
c1v1+c2v2+c3v3=v

Passo 2

Para o item (a) temos
v1=(1,3,2), v2=(2,1,3), v3=(2,5,1)
A matriz cujas colunas são esses vetores é
A= 1 & 2 & 2 3 & 1 & 5 2 & 3 & 1
Calculamos
det(A) =1cdot1&53&1 -2cdot3&52&1 +2cdot3&12&3 =-14+14+14=14neq0

Passo 3

Como det(A)=14neq0, concluímos que v1,v2,v3 são linearmente independentes e, portanto, geram R^3.

Passo 4

Agora resolvemos
c1v1+c2v2+c3v3=v, v=(2,12,2),
isto é o sistema
c1+2c2+2c3=2, 3c1+c2+5c3=12, 2c1+3c2+c3=2
Pela eliminação de Gauss obtemos
c1=187, c2=-107, c3=87

Passo 5

Portanto, no item (a)
v=187,v1-107,v2+87,v3

Passo 6

Para o item (b) temos
v1=(-1,-2,-4), v2=(-2,-1,1), v3=(3,1,3), v=(1,1,-1)
A matriz é
B= -1 & -2 & 3 -2 & -1 & 1 -4 & 1 & 3 ,
e
det(B) =-1cdot-1&11&3 +2cdot-2&1-4&3 +3cdot-2&-1-4&1 =-18neq0

Passo 7

Como det(B)=-18neq0, os vetores também formam base e geram R^3.

Passo 8

Resolvendo
c1v1+c2v2+c3v3=v
levanta-se o sistema
-c1-2c2+3c3=1, -2c1-c2+c3=1, -4c1+c2+3c3=-1
Pela eliminação encontra-se
c1=-29, c2=-89, c3=-13

Resposta

(a) X gera R^3 e
v=187v1-107v2+87v3
(b) X gera R^3 e
v=-29v1-89v2-13v3

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