Verifique se o subconjunto F=(x, y) in R^2 ; x y=0, do espaço vetorial R^2, é um subespaço vetorial de R^2.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
F = (x,y)in R^2 mid x,y = 0,
que é a união dos eixos coordenados. Para que F seja subespaço de R^2, precisamos verificar:
(1) (0,0)in F,
(2) se u,vin F então u+vin F,
(3) se uin F e lambdainR então lambda uin F.

Passo 2

Verificamos o vetor zero:
(0,0)in F pois 0cdot0=0
Logo, a condição (1) está satisfeita.

Passo 3

Para testar a condição (2), tomemos
u=(1,0)in F e v=(0,1)in F,
pois 1cdot0=0 e 0cdot1=0. Porém
u+v = (1,1),
e nesse caso
1cdot1 = 1 neq 0,
logo (1,1)notin F. Portanto F não é fechado sob soma.

Passo 4

Como falha a condição de fechamento sob soma, concluímos que F não satisfaz os requisitos de subespaço vetorial.

Resposta

F não é subespaço vetorial de R^2.

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