Verifique se os vetores u=(3,2,1,4), v=(3,1,2,1) e w=(3,1,1,1) são linearmente independentes.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os vetores u=(3,2,1,4), v=(3,1,2,1) e w=(3,1,1,1) em R^4 são linearmente independentes. Para isso, vamos usar o método de equacionar
a,u + b,v + c,w = 0
e verificar se a única solução é a trivial a=b=c=0.

Passo 2

Escrevendo
Isso pode ser representado pela matriz de coeficientes
e então aplicamos eliminação de Gauss para determinar o posto de (M].

Passo 3

  1. Fazer
    R2 R2 - tfrac23R1, R3 R3 - tfrac13R1, R4 R4 - tfrac43R1
    obtendo
    3 & 3 & 3 0 & -1 & -1 0 & 1 & 0 0 & -3 & -3
  2. Trocar R2 por R3 e limpar a segunda coluna:
    R1 R1 - 3R2, R3 R3 + R2, R4 R4 + 3R2
    resultando em
    3 & 0 & 3 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1 0 & 0 & -3
  3. Escalonar a terceira linha e zerar acima/abaixo:
    R3 -R3, R1 R1 - 3R3, R4 R4 + 3R3
    chegando a
    1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0
Há pivôs em todas as três colunas, logo rank(M)=3.

Passo 4

Como o posto da matriz de coeficientes é igual ao número de vetores ( 3), o sistema homogêneo só admite a solução trivial
a=0, b=0, c=0
Isto significa que u, v e w são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores u, v e w são linearmente independentes.

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