Verifique se os vetores
e
são linearmente independentes.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se os vetores
,
e
em
são linearmente independentes. Para isso, vamos usar o método de equacionar
e verificar se a única solução é a trivial
.
Passo 2
Escrevendo
Isso pode ser representado pela matriz de coeficientes
e então aplicamos eliminação de Gauss para determinar o posto de (M].
Passo 3
-
Fazer
R2 R2 - tfrac23R1, R3 R3 - tfrac13R1, R4 R4 - tfrac43R1 obtendo3 & 3 & 3 0 & -1 & -1 0 & 1 & 0 0 & -3 & -3 -
Trocar
porR2 e limpar a segunda coluna:R3 R1 R1 - 3R2, R3 R3 + R2, R4 R4 + 3R2 resultando em3 & 0 & 3 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1 0 & 0 & -3 -
Escalonar a terceira linha e zerar acima/abaixo:
R3 -R3, R1 R1 - 3R3, R4 R4 + 3R3 chegando a1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0
Há pivôs em todas as três colunas, logo
rank(M)=3 .
Passo 4
Como o posto da matriz de coeficientes é igual ao número de vetores (
3 ), o sistema homogêneo só admite a solução trivial
Isto significa que
u ,
v e
w são linearmente independentes.
Resposta
Os vetores
u ,
v e
w são linearmente independentes.