Considere o conjunto
com as operações de adição e multiplicação por escalar
Verifique se, com essas operações,
é um espaço vetorial real.
Passo 1
O enunciado define
com operação de soma
e multiplicação por escalar
Para ser um espaço vetorial real, precisamos que
seja um grupo abeliano, que haja interação correta com escalares e que todos os axiomas (fechamento, associatividade, elemento neutro, inversos, distributividade, etc.) sejam satisfeitos.
Passo 2
Verificamos primeiro fechamento, associatividade e comutatividade da adição:
– Fechamento: se então
.
– Associatividade:
– Fechamento: se
– Associatividade:
logo coincide.
– Comutatividade:
– Comutatividade:
Passo 3
Procuramos o elemento neutro
tal que para todo
Pelo lado esquerdo temos
. Igualando a
vem
o que é impossível. Portanto não existe elemento neutro em
.
Passo 4
Como falha o axioma de existência do elemento neutro (e, consequentemente, de inversos aditivos), a estrutura não é grupo abeliano e, portanto, não satisfaz os axiomas de espaço vetorial.