Considere o conjunto E:=(x, y) ; x, y in R com as operações de adição e multiplicação por escalar
(x, y)+(z, w)=(x+z, 0) alpha(x, y)=(alpha x, 0)
Verifique se, com essas operações, E é um espaço vetorial real.

Passo 1

O enunciado define E = R^2 com operação de soma
(x,y)+(z,w) = (x+z,0)
e multiplicação por escalar
alpha,(x,y) = (alpha x,0)
Para ser um espaço vetorial real, precisamos que (E,+) seja um grupo abeliano, que haja interação correta com escalares e que todos os axiomas (fechamento, associatividade, elemento neutro, inversos, distributividade, etc.) sejam satisfeitos.

Passo 2

Verificamos primeiro fechamento, associatividade e comutatividade da adição:
– Fechamento: se (x,y),(z,w)in E então (x+z,0)in E.
– Associatividade:
((x,y)+(z,w))+(u,v) = (x+z,0)+(u,v) = (x+z+u,0)
(x,y)+((z,w)+(u,v)) = (x,y)+(z+u,0) = (x+z+u,0),
logo coincide.
– Comutatividade:
(x,y)+(z,w) = (x+z,0) = (z+x,0) = (z,w)+(x,y)

Passo 3

Procuramos o elemento neutro 0E=(e1,e2) tal que para todo (x,y)
(x,y)+(e1,e2) = (x,y)
Pelo lado esquerdo temos (x+e1,0). Igualando a (x,y) vem
x+e1 = x implies e1=0, 0 = y para todo y,
o que é impossível. Portanto não existe elemento neutro em (E,+).

Passo 4

Como falha o axioma de existência do elemento neutro (e, consequentemente, de inversos aditivos), a estrutura não é grupo abeliano e, portanto, não satisfaz os axiomas de espaço vetorial.

Resposta

E não é um espaço vetorial real, pois não existe elemento neutro da adição.

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