Caso o sistema
l x+2 y+3 z=5 3 x+4 y+5 z=10 -x-2 y-3 z=-5
seja consistente, determine o conjunto solução do mesmo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O que temos aqui é um sistema linear com três equações e três incógnitas (x, y e z). Nosso objetivo é descobrir se esse sistema tem solução (é consistente) e, se tiver, quais são essas soluções. Para isso, vamos usar métodos de resolução de sistemas lineares, como substituição ou eliminação, e entender um pouco sobre consistência de sistemas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as equações que temos:
x + 2y + 3z = 5 (Equação 1) 3x + 4y + 5z = 10 (Equação 2) -x - 2y - 3z = -5 (Equação 3) çãçãçã
Observamos que a Equação 3 parece ser um múltiplo da Equação 1. Vamos verificar:
Multiplicando a Equação 1 por -1:
-1 times (x + 2y + 3z) = -1 times 5 - x - 2y - 3z = -5
Vemos que isso é exatamente a Equação 3. Isso significa que a Equação 3 não nos dá nenhuma informação nova; ela é redundante. Portanto, nosso sistema efetivamente tem duas equações com três incógnitas.

Passo 3

Agora, vamos resolver as duas equações restantes:
x + 2y + 3z = 5 (Equação 1) 3x + 4y + 5z = 10 (Equação 2) çãçã
Para simplificar, podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Vamos optar pela eliminação aqui.
Primeiro, multiplicamos a Equação 1 por 3 para alinhar os coeficientes de x:
3(x + 2y + 3z) = 3 times 5 3x + 6y + 9z = 15 (Equação 4) çã
Agora, subtraímos a Equação 2 da Equação 4:
(3x + 6y + 9z) - (3x + 4y + 5z) = 15 - 10 0x + 2y + 4z = 5
Simplificando:
2y + 4z = 5 (Equação 5) çã

Passo 4

Agora, queremos expressar y em termos de z a partir da Equação 5:
2y + 4z = 5 2y = 5 - 4z y = 5 - 4z2
Então, y depende do valor de z. Isso mostra que teremos infinitas soluções, pois z pode ser qualquer número real.

Passo 5

Com y em termos de z, vamos substituir esse valor na Equação 1 para encontrar x:
x + 2y + 3z = 5 x + 2(5 - 4z2) + 3z = 5 x + (5 - 4z) + 3z = 5 x - z + 5 = 5 x - z = 0 x = z
Então, x também está relacionado diretamente a z.

Passo 6

Agora, temos todas as variáveis em termos de z:
x = z y = 5 - 4z2 z = z
Podemos definir z como um parâmetro livre, digamos t . Então:
x = t y = 5 - 4t2 z = t

Resposta

O conjunto solução do sistema é dado por todos os tripletos (x, y, z) onde:
x = t, y = 5 - 4t2, z = t para todo número real t ú

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