Determinar para que valores de a e b o sistema
l x-y+z=a 2 x-y+3 z=2 x+y+b z=0
admite infinitas soluções.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
Queremos os valores de e tais que haja infinitas soluções. Em álgebra linear isso ocorre quando
onde é a matriz de coeficientes e o vetor dos termos constantes.

Passo 2

A matriz de coeficientes é
Calculando o determinante por expansão, obtemos
Para que precisamos de , ou seja

Passo 3

Com b=3 o sistema fica
x - y + z = a, 2x - y + 3z = 2, x + y + 3z = 0
Eliminando para ver consistência, note que
(2x - y +3z)-2,(x - y + z)=2-2a ;Rightarrow; y+z=2-2a,
e
(x + y +3z)-(x - y + z)=0-a ;Rightarrow; y+z=-tfraca2
Para o sistema ser consistente essas duas expressões devem coincidir:
2-2a=-tfraca2 ;Rightarrow; 4-4a=-a ;Rightarrow; 4=3a ;Rightarrow; a=tfrac43

Resposta

a = tfrac43
b = 3

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