Verificar quais das matrizes são inversíveis e determinar as respectivas inversas.
[ccc2 & 0 & 0 4 & -1 & 0 2 & 3 & -1]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 2 & 0 & 0 4 & -1 & 0 2 & 3 & -1
é inversível e, em caso afirmativo, determinar A^-1. Este é um problema de cálculo de determinante (para testar invertibilidade) e de aplicação do método de Gauss–Jordan (para achar a inversa).

Passo 2

Para matrizes triangulares (ou quase triangulares), vale que
det(A)
é o produto dos elementos da diagonal principal. Aqui os elementos são 2, -1 e -1. Logo
det(A)=2cdot(-1)cdot(-1)=2neq0
Como det(A)neq0, concluímos que A é inversível.

Passo 3

Agora vamos usar o método de Gauss–Jordan. Montamos a matriz aumentada (A,|,I):
l[A,|,Ir] = [ccc|ccc 2 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 4 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 2 & 3 & -1 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 4

Aplicamos operações elementares:
  1. Dividimos a primeira linha por 2: R112R1 ;Longrightarrow; [ccc|ccc 1 & 0 & 0 & tfrac12 & 0 & 0 4 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 2 & 3 & -1 & 0 & 0 & 1 ]
  2. Eliminamos abaixo de a11: R2 R2-4R1, R3 R3-2R1 ;Longrightarrow; [ccc|ccc 1 & 0 & 0 & tfrac12 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & -2 & 1 & 0 0 & 3 & -1 & -1 & 0 & 1 ]
  3. Pivot em a22: dividimos a segunda linha por -1: R2 -R2 ;Longrightarrow; [ccc|ccc 1 & 0 & 0 & tfrac12 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 0 0 & 3 & -1 & -1 & 0 & 1 ]
  4. Eliminamos abaixo de a22: R3 R3-3R2 ;Longrightarrow; [ccc|ccc 1 & 0 & 0 & tfrac12 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 0 0 & 0 & -1 & -7 & 3 & 1 ]
  5. Pivot em a33: dividimos a terceira linha por -1: R3 -R3 ;Longrightarrow; [ccc|ccc 1 & 0 & 0 & tfrac12 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 2 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & 7 & -3 & -1 ]
Como já temos a matriz identidade à esquerda, a parte direita é exatamente A^-1.

Resposta

A^-1 = tfrac12 & 0 & 0 2 & -1 & 0 7 & -3 & -1

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