Determine se o sistema
l x+2 y+3 z=5 3 x+4 y+5 z=10 -x-2 y-3 z=-5
é consistente ou inconsistente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão nos apresenta um sistema de equações lineares com três variáveis: x , y e z . A gente precisa descobrir se esse sistema é consistente (ou seja, se tem pelo menos uma solução) ou inconsistente (não tem nenhuma solução). Para resolver isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss, que ajuda a simplificar o sistema para facilitar a análise.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema em forma de matriz aumentada. Isso significa que colocamos os coeficientes das variáveis em uma tabela junto com os termos constantes:
1 & 2 & 3 & | & 5 3 & 4 & 5 & | & 10 -1 & -2 & -3 & | & -5

Passo 3

Agora, nosso objetivo é simplificar essa matriz para ver se conseguimos chegar a uma situação em que as equações sejam compatíveis ou não. Vamos começar eliminando x das segunda e terceira linhas.
  • Primeira operação: Vamos zerar o x na segunda linha. Para isso, multiplicamos a primeira linha por 3 e subtraímos da segunda linha:
1 & 2 & 3 & | & 5 0 & -2 & -4 & | & -5 -1 & -2 & -3 & | & -5
  • Segunda operação: Agora, vamos zerar o x na terceira linha. Multiplicamos a primeira linha por -1 e somamos à terceira linha:
1 & 2 & 3 & | & 5 0 & -2 & -4 & | & -5 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 4

Observamos que a terceira linha ficou com todos os zeros, o que significa que essa equação não traz nenhuma informação nova — ela é redundante. Agora, vamos focar nas duas primeiras linhas simplificadas:
x + 2y + 3z = 5 -2y -4z = -5

Passo 5

Vamos simplificar ainda mais a segunda equação. Podemos dividir toda a equação por -2 para facilitar:
y + 2z = 52

Passo 6

Agora, temos:
x + 2y + 3z = 5 y + 2z = 52
Isso significa que podemos escolher um valor para z e encontrar valores correspondentes para y e x . Como há infinitas possibilidades para z , o sistema tem infinitas soluções.

Resposta

O sistema é consistente, já que possui infinitas soluções.

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