Nos casos abaixo, calcule as derivadas parciais partial fpartial x, partial fpartial y e partial fpartial x partial y de 1 ordem:
z=x^2-y^2x^2+y^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos as derivadas parciais de primeira ordem partial f/partial x, partial f/partial y e a derivada mista partial^2 f/partial xpartial y da função
z = f(x,y) = x^2-y^2x^2+y^2
O que vamos precisar aqui é a regra do quociente para derivadas parciais e, no caso da derivada mista, usar a regra do produto em conjunto com a derivação de uma potência.

Passo 2

Vamos chamar
u(x,y)=x^2-y^2, v(x,y)=x^2+y^2,
então
partial fpartial x = ux,v - u,vxv^2
Como ux=2x e vx=2x, temos
partial fpartial x = 2x,(x^2+y^2) - (x^2-y^2),2x(x^2+y^2)^2 = 4x,y^2(x^2+y^2)^2

Passo 3

De modo análogo, para partial f/partial y usamos
partial fpartial y = uy,v - u,vyv^2,
onde uy=-2y e vy=2y. Assim
partial fpartial y = -2y,(x^2+y^2) - (x^2-y^2),2y(x^2+y^2)^2 = -4x^2,y(x^2+y^2)^2

Passo 4

Para achar a derivada mista partial^2 f/partial xpartial y, diferenciamos partial f/partial x = 4x,y^2(x^2+y^2)^-2 em relação a y. Usamos produto e potência:
partialpartial yl(4x,y^2r) =8x,y, partialpartial yl((x^2+y^2)^-2r) =-2,(x^2+y^2)^-3cdot 2y=-4y,(x^2+y^2)^-3
Logo
partial^2 fpartial ypartial x =8x,y,(x^2+y^2)^-2 +4x,y^2l(-4y,(x^2+y^2)^-3r) = 8x,y,(x^2+y^2) -16x,y^3(x^2+y^2)^3 = 8x,y,(x^2-y^2)(x^2+y^2)^3

Resposta

partial fpartial x = 4x,y^2(x^2+y^2)^2, partial fpartial y = -4x^2,y(x^2+y^2)^2, partial^2 fpartial x partial y = 8x,y,(x^2-y^2)(x^2+y^2)^3

Exercícios relacionados