Nos casos abaixo, calcule as derivadas parciais partial fpartial x, partial fpartial y e partial fpartial x partial y de 1 ordem:
z=e^x^2+y^2-4

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem partial fpartial x e partial fpartial y, além da derivada mista partial^2 fpartial x,partial y, para a função
f(x,y)=e^x^2+y^2-4
O conteúdo principal aqui é a aplicação da regra da cadeia em derivadas parciais.

Passo 2

Para achar partial fpartial x, vemos f(x,y)=e^u com u=x^2+y^2-4. A derivada de e^u em relação a u é e^u e de u em relação a x é 2x. Logo,
partial fpartial x =ddxl(e^ur) =e^ucdotpartial upartial x =e^x^2+y^2-4cdot 2x =2x,e^x^2+y^2-4

Passo 3

De modo análogo, para partial fpartial y usamos a mesma estrutura: derivada de e^u vezes derivada de u em relação a y, que é 2y. Assim,
partial fpartial y =e^x^2+y^2-4cdot 2y =2y,e^x^2+y^2-4

Passo 4

Para obter a derivada mista partial^2 fpartial x,partial y, derivamos partial fpartial x=2x,e^x^2+y^2-4 em relação a y. Aqui 2x é constante frente a y, e aplicamos de novo a regra da cadeia:
partial^2 fpartial x,partial y =partialpartial yl(2x,e^x^2+y^2-4r) =2xcdot e^x^2+y^2-4cdotpartialpartial y(x^2+y^2-4) =2x,e^x^2+y^2-4cdot 2y =4xy,e^x^2+y^2-4

Resposta

partial fpartial x=2x,e^x^2+y^2-4
partial fpartial y=2y,e^x^2+y^2-4
partial^2 fpartial x,partial y=4xy,e^x^2+y^2-4

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