Nos casos abaixo, calcule as derivadas parciais partial fpartial x, partial fpartial y e partial fpartial x partial y de 1 ordem:
t(x, y, z)=x y zraizx^3+y^2+z^2

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
t(x,y,z)=x,y,zraizx^3+y^2+z^2
ou seja partial tpartial x, partial tpartial y e a derivada mista partial^2 tpartial y,partial x.
O conteúdo principal é aplicar regra do quociente (ou, equivalentemente, produto e cadeia) tratando as variáveis não diferenciadas como constantes.

Passo 2

Escrevemos
t(x,y,z)=x,y,z;(x^3+y^2+z^2)^-tfrac12
e usamos produto de duas funções de x: u(x)=x,y,z e v(x)=(x^3+y^2+z^2)^-1/2.
Então
partial tpartial x = u'(x),v(x)+u(x),v'(x)
Aqui u'(x)=y,z e
v'(x)=-tfrac12,(x^3+y^2+z^2)^-tfrac32cdot3x^2 =-3x^22,(x^3+y^2+z^2)^3/2
Logo
partial tpartial x = y,z,(x^3+y^2+z^2)^-tfrac12 - x,y,z;3x^22,(x^3+y^2+z^2)^3/2
Colocando no mesmo denominador:
partial tpartial x =y,z(x^3+y^2+z^2)^1/2 -3x^3y,z2,(x^3+y^2+z^2)^3/2 =y,zl(2(x^3+y^2+z^2)-3x^3r)2,(x^3+y^2+z^2)^3/2,
ou seja
boxedpartial tpartial x =y,z,(2y^2+2z^2-x^3)2,(x^3+y^2+z^2)^3/2

Passo 3

Para partial tpartial y fazemos o mesmo, agora tratando x,z como constantes:
u(y)=x,y,z, u'(y)=x,z, v(y)=(x^3+y^2+z^2)^-tfrac12, v'(y)=-y(x^3+y^2+z^2)^3/2
Logo
partial tpartial y =x,z,(x^3+y^2+z^2)^-tfrac12 - x,y,z;y(x^3+y^2+z^2)^3/2 =x,zl((x^3+y^2+z^2)-y^2r)(x^3+y^2+z^2)^3/2,
isto é
boxedpartial tpartial y =x,z,(x^3+z^2)(x^3+y^2+z^2)^3/2

Passo 4

Agora a derivada mista partial^2 tpartial y,partial x é
partialpartial yl(partial tpartial xr) =partialpartial y!l[y,z,(2y^2+2z^2-x^3)2,(x^3+y^2+z^2)^3/2r]
Aplicando produto e quociente em relação a y (mantendo x,z constantes) e organizando,
boxedpartial^2 tpartial y,partial x =zl(-x^6+8x^3y^2+x^3z^2+2y^2z^2+2z^4r) 2,(x^3+y^2+z^2)^5/2

Resposta

partial tpartial x = y z (2 y^2 + 2 z^2 - x^3)2 (x^3 + y^2 + z^2)^3/2,
partial tpartial y = x z (x^3 + z^2)(x^3 + y^2 + z^2)^3/2,
partial^2 tpartial y partial x = z l(-x^6 + 8 x^3 y^2 + x^3 z^2 + 2 y^2 z^2 + 2 z^4r)2 (x^3 + y^2 + z^2)^5/2

Exercícios relacionados