Nos casos abaixo calcule a multiplicidade algébrica e a multiplicidade geométrica de cada autovalor do operador em questão:
(b) T: R^2 R^2 dada por T(x, y)=(-x,-y);

Passo 1

O enunciado quer que a gente ache, para o operador linear
Tcolon R^2 to R^2, T(x,y)=(-x,-y),
cada autovalor de T e suas multiplicidades algébrica e geométrica. Vamos lembrar que
– a multiplicidade algébrica de um autovalor lambda é sua multiplicidade como raiz do polinômio característico;
– a multiplicidade geométrica de lambda é a dimensão do seu espaço próprio ker(T-lambda I).

Passo 2

Na base canônica, T tem matriz
A=-1&00&-1
O polinômio característico é
chiA(lambda)=det(A-lambda I) =det-1-lambda&00&-1-lambda =(-1-lambda)^2=(lambda+1)^2
Portanto existe um único autovalor, lambda=-1, com multiplicidade algébrica igual a 2.

Passo 3

Para estudar o espaço próprio de lambda=-1, calculamos
A-(-1)I=A+I =-1&00&-1 +1&00&1 =0&00&0
Como (A+I) é a matriz zero, todo vetor (x,y)inR^2 satisfaz (A+I)(x,y)=0. Logo o espaço próprio associado a lambda=-1 é todo R^2 e sua dimensão (multiplicidade geométrica) é 2.

Resposta

O único autovalor é lambda=-1, com
– multiplicidade algébrica =2,
– multiplicidade geométrica =2.

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