Nos casos abaixo calcule a multiplicidade algébrica e a multiplicidade geométrica de cada autovalor do operador em questão:
(b)
dada por
;
(b)
Passo 1
O enunciado quer que a gente ache, para o operador linear
cada autovalor de
e suas multiplicidades algébrica e geométrica. Vamos lembrar que
– a multiplicidade algébrica de um autovalor é sua multiplicidade como raiz do polinômio característico;
– a multiplicidade geométrica de é a dimensão do seu espaço próprio
.
– a multiplicidade algébrica de um autovalor
– a multiplicidade geométrica de
Passo 2
Na base canônica,
tem matriz
O polinômio característico é
Portanto existe um único autovalor,
, com multiplicidade algébrica igual a
.
Passo 3
Para estudar o espaço próprio de
, calculamos
Como
é a matriz zero, todo vetor
satisfaz
. Logo o espaço próprio associado a
é todo
e sua dimensão (multiplicidade geométrica) é
.
Resposta
O único autovalor é
, com
– multiplicidade algébrica ,
– multiplicidade geométrica .
– multiplicidade algébrica
– multiplicidade geométrica