Seja
um espaço vetorial sobre
, com produto interno. Se
e
são operadores autoadjuntos, mostre que:
(c)
é autoadjunto se, e somente se,
.
(c)
Passo 1
O enunciado nos dá um espaço vetorial
com produto interno e dois operadores auto-adjuntos
, e
., Queremos provar que
Aqui vamos usar duas ideias chave:
. A definição de operador auto-adjunto, isto é,
.
. A propriedade do adjunto de um composto:
Passo 2
Prova da implicação “
”: suponha que
seja auto-adjunto. Então
Porém, usando a propriedade do adjunto de um produto, temos
já que
e
. Logo
que é exatamente a comutatividade desejada.
Passo 3
Prova da implicação “
”: suponha agora que
Para mostrar que
é auto-adjunto, basta verificar que
Como
e
são auto-adjuntos, temos
Usando ainda a hipótese de comutatividade
, concluímos
o que mostra que
, ou seja,
é auto-adjunto.
Resposta
Mostramos que