Seja V um espaço vetorial sobre K, com produto interno. Se T1: V V e T2: V V são operadores autoadjuntos, mostre que:
(c) T1 circ T2 é autoadjunto se, e somente se, T1 circ T2=T2 circ T1.

Passo 1

O enunciado nos dá um espaço vetorial V com produto interno e dois operadores auto-adjuntos
,T1:Vto V, e ,T2:Vto V., Queremos provar que
T1circ T2 é auto-adjunto Long<=ftrightarrow T1circ T2=T2circ T1 é
Aqui vamos usar duas ideias chave:
1. A definição de operador auto-adjunto, isto é, T=T^*.
2. A propriedade do adjunto de um composto:
(Acirc B)^*=B^*circ A^*

Passo 2

Prova da implicação “ Longrightarrow”: suponha que T1circ T2 seja auto-adjunto. Então
(T1circ T2)^*=T1circ T2
Porém, usando a propriedade do adjunto de um produto, temos
(T1circ T2)^* = T2^*circ T1^* = T2circ T1,
já que T1^*=T1 e T2^*=T2. Logo
T2circ T1 = T1circ T2,
que é exatamente a comutatividade desejada.

Passo 3

Prova da implicação “ Long<=ftarrow”: suponha agora que
T1circ T2=T2circ T1
Para mostrar que T1circ T2 é auto-adjunto, basta verificar que
lang<= (T1circ T2)x,yrang<= =lang<= x,(T1circ T2)yrang<= forall x,yin V
Como T1 e T2 são auto-adjuntos, temos
lang<= T1(T2x),yrang<= =lang<= T2x,T1yrang<= e lang<= T2x,T1yrang<= =lang<= x,T2(T1y)rang<=
Usando ainda a hipótese de comutatividade T2circ T1=T1circ T2, concluímos
lang<=(T1circ T2)x,yrang<= =lang<= x,(T1circ T2)yrang<=,
o que mostra que (T1circ T2)^*=T1circ T2, ou seja, T1circ T2 é auto-adjunto.

Resposta

Mostramos que
T1circ T2 é auto-adjunto Long<=ftrightarrow T1circ T2=T2circ T1 é

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