Nos casos abaixo calcule a multiplicidade algébrica e a multiplicidade geométrica de cada autovalor do operador em questão:
(g) T: R^4 R^4 cuja matriz em relação à base canônica é dada por
(llll 3 & 1 & 0 & 0 0 & 3 & 0 & 0 0 & 0 & 4 & 0 0 & 0 & 0 & 3 )

Passo 1

O enunciado fornece o operador Tcolon R^4 to R^4 cuja matriz na base canônica é
A = 3 & 1 & 0 & 0 0 & 3 & 0 & 0 0 & 0 & 4 & 0 0 & 0 & 0 & 3 ,
e pede a multiplicidade algébrica e a multiplicidade geométrica de cada autovalor. Para isso vamos primeiro obter o polinômio característico e suas raízes (autovalores e multiplicidades algébricas) e depois calcular a dimensão de ker(A-lambda I) para cada lambda (multiplicidade geométrica).

Passo 2

Como A é triangular, o polinômio característico é o produto dos termos (aii-lambda). Temos
chiT(lambda) = det(A-lambda I) = (3-lambda),(3-lambda),(4-lambda),(3-lambda) = (3-lambda)^3,(4-lambda)
Logo os autovalores são lambda=3 com multiplicidade algébrica 3 e lambda=4 com multiplicidade algébrica 1.

Passo 3

Para lambda=3 a multiplicidade geométrica é
dimker(A-3I),
onde
A-3I = 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0
As equações equivalentes são
1ª linha: x2=0,
3ª linha: x3=0,
e as outras linhas dão 0=0.
Portanto sobram x1 e x4 livres, daí
dimker(A-3I)=2

Passo 4

Para lambda=4 a multiplicidade geométrica é
dimker(A-4I),
onde
A-4I = -1 & 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & -1
As equações são
1ª linha: -x1 + x2=0,
2ª linha: -x2=0,
4ª linha: -x4=0,
3ª linha: 0=0.
Dessas vêm x2=0, x1=0, x4=0, e x3 fica livre. Logo
dimker(A-4I)=1

Resposta

lambda=3: multiplicidade algébrica 3, multiplicidade geométrica 2
lambda=4: multiplicidade algébrica 1, multiplicidade geométrica 1

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