Nos casos abaixo, obtenha o operador adjunto e verifique em cada caso se o operador estudado é autoadjunto:
(c) T in L(R^3) dado por T(a, b, c)=(2 a+2 c, a+c, a+c), considerando o produto interno usual de R^3.

Passo 1

O enunciado pede o operador adjunto T^* de
TcolonR^3toR^3, T(a,b,c)=(2a+2c,;a+c,;a+c),
no produto interno usual de R^3, e verificar se T=T^*. Em coordenadas canônicas, basta encontrar a matriz de T e usar que, no caso real com produto interno padrão, a matriz de T^* é a transposta da matriz de T.

Passo 2

Na base canônica e1,e2,e3, temos
T(e1)=(2,1,1), T(e2)=(0,0,0), T(e3)=(2,1,1),
logo a matriz de T é
[T]= 2 & 0 & 2 1 & 0 & 1 1 & 0 & 1

Passo 3

Como o espaço é real com o produto interno usual, a matriz de T^* é
[T^*]=[T]^ T = 2 & 1 & 1 0 & 0 & 0 2 & 1 & 1
Assim, para (a,b,c)inR^3,
T^*(a,b,c) = l(2a+b+c,;0,;2a+b+cr)

Passo 4

Comparando
[T]= 2 & 0 & 2 1 & 0 & 1 1 & 0 & 1 , [T^*]= 2 & 1 & 1 0 & 0 & 0 2 & 1 & 1 ,
vemos que [T]neq[T^*]. Logo Tneq T^*, ou seja, T não é autoadjunto.

Resposta

T^*(a,b,c) = (2a + b + c,;0,;2a + b + c).
T não é autoadjunto.

Exercícios relacionados