Seja a aplicação T: R^2 R^3 tal que,
T(x, y)=(x+x y, 2 x, y)
Verifique se T é ou não uma transformação linear. Justifique.

Passo 1

O enunciado define a aplicação
Tcolon R^2 to R^3, T(x,y) = (,x + x y,;2x,;y,)
O conteúdo envolve a definição de transformação linear em espaços vetoriais: precisamos checar se, para todos os vetores u,vinR^2 e todo escalar lambdainR, vale
T(u+v) = T(u) + T(v) e T(lambda,u) = lambda,T(u)

Passo 2

Vamos testar a aditividade. Seja u=(x1,y1) e v=(x2,y2). Então
u+v = (x1+x2,;y1+y2),
e
T(u+v) = l((x1+x2) + (x1+x2)(y1+y2),;2(x1+x2),;y1+y2r)
Por outro lado,
T(u) + T(v) = (,x1 + x1y1,;2x1,;y1) + (,x2 + x2y2,;2x2,;y2) = l(x1 + x1y1 + x2 + x2y2,;2(x1+x2),;y1+y2r)
No primeiro componente vemos em T(u+v) os termos extras
x1y2 + x2y1,
que não aparecem em T(u) + T(v). Portanto
T(u+v) neq T(u) + T(v)
em geral, ou seja, a aditividade falha.

Passo 3

Como a aditividade é uma das condições necessárias para linearidade e ela não se verifica, concluímos que T não é uma transformação linear.

Resposta

T não é transformação linear.

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