Nos casos abaixo, obtenha o operador adjunto e verifique em cada caso se o operador estudado é autoadjunto:
(b) T in L(R^2) dado por T(a, b)=(2 a+b, a+b), considerando o produto interno usual de R^2.

Passo 1

O enunciado pede o operador adjunto T^* de
TcolonR^2toR^2, T(a,b)=(2a+b,;a+b)
no produto interno usual lang<= (u1,u2),(v1,v2)rang<= = u1v1+u2v2, e quer verificar se T=T^* (ou seja, se T é autoadjunto).

Passo 2

Usando a definição de adjunto, precisamos que, para todo (a,b),(x,y)inR^2,
lang<= T(a,b),(x,y)rang<= = lang<= (a,b),,T^*(x,y)rang<=
Calculando a parte esquerda:
lang<= T(a,b),(x,y)rang<= = lang<= (2a+b,;a+b),(x,y)rang<= = (2a+b)x + (a+b)y = a(2x+y) + b(x+y)

Passo 3

Comparando com
lang<= (a,b),,T^*(x,y)rang<= = a,l[T^*(x,y)r]1 + b,l[T^*(x,y)r]2,
vemos que deve valer
T^*(x,y) = (2x+y,;x+y)

Passo 4

Note que
T(a,b) = (2a+b,;a+b) e T^*(a,b) = (2a+b,;a+b),
logo T^*=T. Portanto, T é autoadjunto.

Resposta

O operador adjunto é
T^*(a,b) = (2a+b,;a+b),
e como T^*=T, T é autoadjunto.

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