Nos casos abaixo calcule a multiplicidade algébrica e a multiplicidade geométrica de cada autovalor do operador em questão:
(a) T: R^2 R^2 dada por T(x, y)=(x+y, x-y);

Passo 1

O enunciado dá o operador linear
Tcolon R^2 to R^2, T(x,y) = (x+y,;x-y)
e pede, para cada autovalor de T, sua multiplicidade algébrica e sua multiplicidade geométrica.
Conteúdo: matriz associada, polinômio característico, autovalores, dimensões dos autespaços.

Passo 2

Escrevemos a matriz de T na base canônica:
A = 1 & 1 1 & -1
O polinômio característico é
det(A - lambda I) = det 1-lambda & 1 1 & -1-lambda =(1-lambda)(-1-lambda) - 1 =lambda^2 - 2
Logo as raízes são
lambda = +raiz2, lambda = -raiz2,
cada uma aparece uma vez no polinômio, logo cada uma tem multiplicidade algébrica igual a 1.

Passo 3

Para cada autovalor lambda calculamos o autespaço ker(A-lambda I).
Como os autovalores são distintos, cada autespaço tem dimensão 1. Em particular, para lambda=raiz2 ou lambda=-raiz2 encontramos um único grau de liberdade na solução de (A-lambda I)v=0.

Resposta

Autovalor raiz2: multiplicidade algébrica 1, multiplicidade geométrica 1
Autovalor -raiz2: multiplicidade algébrica 1, multiplicidade geométrica 1

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