Nos casos abaixo, obtenha o operador adjunto e verifique em cada caso se o operador estudado é autoadjunto:
(a)
dado por
, considerando o produto interno usual de
.
(a)
Passo 1
O enunciado dá o operador linear
definido por
no espaço
com o produto interno usual
.
Precisamos encontrar o adjunto de
, isto é, o operador que satisfaz
Precisamos encontrar o adjunto
para todos
, e verificar se
.
Passo 2
Recordando a definição de adjunto, tomamos vetores arbitrários
e
e calculamos o produto interno
Passo 3
Usando o produto interno usual, expandimos
Passo 4
Agora reagrupamos em termos de
,
e
:
Passo 5
Da igualdade
segue que
Passo 6
Comparando
vemos que
. Portanto
não é autoadjunto.
Resposta
O adjunto é
e
não é autoadjunto.