Nos casos abaixo, obtenha o operador adjunto e verifique em cada caso se o operador estudado é autoadjunto:
(a) T in L(R^3) dado por T(a, b, c)=(b+3 c, 2 a, b), considerando o produto interno usual de R^3.

Passo 1

O enunciado dá o operador linear TcolonR^3toR^3 definido por
T(a,b,c) = (,b+3c,;2a,;b,)
no espaço R^3 com o produto interno usual lang<= (a,b,c),(x,y,z)rang<= = ax + by + cz.
Precisamos encontrar o adjunto T^* de T, isto é, o operador que satisfaz
lang<= T(a,b,c),(,x,y,z)rang<= = lang<= (a,b,c),T^*(x,y,z)rang<=
para todos (a,b,c),(x,y,z)inR^3, e verificar se T=T^*.

Passo 2

Recordando a definição de adjunto, tomamos vetores arbitrários (a,b,c) e (x,y,z) e calculamos o produto interno
lang<= T(a,b,c),(x,y,z)rang<= =lang<= (,b+3c,;2a,;b,),(x,y,z)rang<=

Passo 3

Usando o produto interno usual, expandimos
lang<= T(a,b,c),(x,y,z)rang<= =(b+3c),x ;+;2a,y ;+;b,z

Passo 4

Agora reagrupamos em termos de a, b e c:
(b+3c)x + 2a,y + b,z = a,(2y) ;+;b,(x+z);+;c,(3x) =lang<= (a,b,c),(2y,;x+z,;3x)rang<=

Passo 5

Da igualdade
lang<= T(a,b,c),(x,y,z)rang<= =lang<= (a,b,c),(2y,;x+z,;3x)rang<=
segue que
T^*(x,y,z) = (,2y,;x+z,;3x,)

Passo 6

Comparando
T(a,b,c)=(b+3c,;2a,;b) com T^*(a,b,c)=(2b,;a+c,;3a),
vemos que Tneq T^*. Portanto T não é autoadjunto.

Resposta

O adjunto é
T^*(a,b,c) = (,2b,;a+c,;3a,)
e T não é autoadjunto.

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