Seja U um subespaço vetorial de um espaço euclidiano V. Então cada v in V se expressa, de maneira única, como v=u+t, onde u in U e t in U^perp. Considere a aplicação T: V V definida por T(v)=u-t. Mostre que T é linear e autoadjunto. Verifique se a afirmação é verdadeira no caso em que U é um subespaço hermitiano.

Passo 1

O enunciado considera um espaço euclidiano real V com produto interno e um subespaço U. Ele usa a decomposição ortogonal
v = u + t, uin U,;tin U^perp,
e define
T(v)=u-t
Queremos mostrar que T é linear e autoadjunto (isto é, T=T^*). Além disso, verificar o que acontece se V e U forem complexos (subespaço hermitiano).

Passo 2

Linearidade. Sejam v1=u1+t1 e v2=u2+t2 as decomposições ortogonais em Uoplus U^perp. Então
v1+v2=(u1+u2)+(t1+t2),
com (u1+u2)in U e (t1+t2)in U^perp. Logo
T(v1+v2)=(u1+u2)-(t1+t2) =(u1-t1)+(u2-t2) =T(v1)+T(v2)
Para homogeneidade, seja alphainR. Como alpha uin U e alpha tin U^perp,
T(alpha v)=T(alpha u+alpha t)=alpha u-alpha t =alpha(u-t)=alpha,T(v)
Logo T é linear sobre R.

Passo 3

Autoadjuntude. Tome v=u+t e w=u'+t'. Usando a bilinearidade do produto interno e a ortogonalidade entre U e U^perp,
lang<= T(v),,wrang<= =lang<= u-t,;u'+t'rang<= =lang<= u,u'rang<=-lang<= t,t'rang<=
pois lang<= u,t'rang<==lang<= t,u'rang<==0. De modo análogo,
lang<= v,,T(w)rang<= =lang<= u+t,;u'-t'rang<= =lang<= u,u'rang<=-lang<= t,t'rang<=
Portanto
lang<= T(v),wrang<==lang<= v,T(w)rang<= forall v,win V,
o que mostra T=T^*.

Passo 4

Caso hermitiano (complexo). Se V é um espaço de dimensão finita sobre C com produto interno conjugado–linear na primeira entrada, e Usubset V é subespaço complexo, a decomposição ortogonal V=Uoplus U^perp e as projeções são C-lineares. O mesmo argumento da linearidade vale para alphainC, e a prova de autoadjuntude usa a propriedade conjugada do produto interno, mas dá o mesmo resultado:
lang<= T(v),wrang<= =lang<= v,T(w)rang<= forall v,win V
Dessa forma T continua sendo C-linear e autoadjunto (ou seja, hermitiano).

Resposta

T é linear e autoadjunto tanto no caso real (euclidiano) quanto no caso complexo (hermitiano).

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