Seja
um subespaço vetorial de um espaço euclidiano
. Então cada
se expressa, de maneira única, como
, onde
e
. Considere a aplicação
definida por
. Mostre que
é linear e autoadjunto. Verifique se a afirmação é verdadeira no caso em que
é um subespaço hermitiano.
Passo 1
O enunciado considera um espaço euclidiano real
com produto interno e um subespaço
. Ele usa a decomposição ortogonal
e define
Queremos mostrar que
é linear e autoadjunto (isto é,
). Além disso, verificar o que acontece se
e
forem complexos (subespaço hermitiano).
Passo 2
Linearidade. Sejam
e
as decomposições ortogonais em
. Então
com
e
. Logo
Para homogeneidade, seja
. Como
e
,
Logo
é linear sobre
.
Passo 3
Autoadjuntude. Tome
e
. Usando a bilinearidade do produto interno e a ortogonalidade entre
e
,
pois
. De modo análogo,
Portanto
o que mostra
.
Passo 4
Caso hermitiano (complexo). Se
é um espaço de dimensão finita sobre
com produto interno conjugado–linear na primeira entrada, e
é subespaço complexo, a decomposição ortogonal
e as projeções são
-lineares. O mesmo argumento da linearidade vale para
, e a prova de autoadjuntude usa a propriedade conjugada do produto interno, mas dá o mesmo resultado:
Dessa forma
continua sendo
-linear e autoadjunto (ou seja, hermitiano).