Nos casos abaixo calcule a multiplicidade algébrica e a multiplicidade geométrica de cada autovalor do operador em questão:
(c) T: R^2 R^2 tal que T(1,0)=(0,-1) e T(0,1)=(1,0);

Passo 1

O enunciado define o operador linear
Tcolon R^2 to R^2
pelas imagens de (1,0) e (0,1). O que precisamos é:
1. Representar T por sua matriz em relação à base canônica.
2. Calcular o polinômio característico para achar os autovalores e suas multiplicidades algébricas.
3. Para cada autovalor, determinar a dimensão do correspondente autespaço (multiplicidade geométrica).

Passo 2

Em coordenadas canônicas e1=(1,0), e2=(0,1) temos
T(e1)=T(1,0)=(0,-1), T(e2)=T(0,1)=(1,0)
Logo a matriz de T é
A = 0 & 1 [6pt] -1 & 0 ]

Passo 3

O polinômio característico de A é
det(A-lambda I) = det -lambda & 1 [3pt] -1 & -lambda = lambda^2 + 1
As raízes são
lambda = i e lambda = -,i,
cada uma com multiplicidade algébrica igual a 1.]

Passo 4

Para resolvemos
As duas equações são dependentes, o posto é , logo a dimensão do autespaço é
O mesmo raciocínio vale para , dando também dimensão .]

Resposta

Para os autovalores lambda=i e lambda=-i:
– multiplicidade algébrica de cada um: 1.
– multiplicidade geométrica de cada um: 1.

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