Nos casos abaixo calcule a multiplicidade algébrica e a multiplicidade geométrica de cada autovalor do operador em questão:
(c)
tal que
e
;
(c)
Passo 1
O enunciado define o operador linear
pelas imagens de
e
. O que precisamos é:
. Representar
por sua matriz em relação à base canônica.
. Calcular o polinômio característico para achar os autovalores e suas multiplicidades algébricas.
. Para cada autovalor, determinar a dimensão do correspondente autespaço (multiplicidade geométrica).
Passo 2
Em coordenadas canônicas
,
temos
Logo a matriz de
é
Passo 3
O polinômio característico de
é
As raízes são
cada uma com multiplicidade algébrica igual a
.]
Passo 4
Para
resolvemos
As duas equações são dependentes, o posto é
, logo a dimensão do autespaço é
O mesmo raciocínio vale para
, dando também dimensão
.]
Resposta
Para os autovalores
e
:
– multiplicidade algébrica de cada um: .
– multiplicidade geométrica de cada um: .
– multiplicidade algébrica de cada um:
– multiplicidade geométrica de cada um: