Determine, se possível, uma matriz inversível M tal que M^-1 A M é diagonal nos casos abaixo:
(e) M in M3(R) e A=(ccc3 & -1 & -1 -6 & 1 & 2 2 & 1 & 0).

Passo 1

O enunciado pede uma matriz invertível Min M3(R) tal que
M^-1AM
seja diagonal, onde
A = 3 & -1 & -1 -6& 1 & 2 2 & 1 & 0
O conteúdo aqui é diagonalização de matriz via autovalores e autovetores.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A definindo
p(lambda)=det(A-lambda I) =det 3-lambda & -1 & -1 -6 & 1-lambda & 2 2 & 1 & -lambda
Fazendo as operações de expansão, chega-se a
p(lambda)=lambda^3 -4lambda^2 -3lambda +2

Passo 3

Buscando raízes racionais em pm1,pm2 vemos que p(-1)=0. Dividindo por lambda+1 obtemos o quociente lambda^2-5lambda+2, cujas raízes são
lambda2,3=5pmraiz172
Logo os três autovalores são
lambda1=-1, lambda2=5+raiz172, lambda3=5-raiz172,
todos distintos, o que garante que A é diagonalizável.

Passo 4

Para resolvemos , ou seja
Dessas equações segue e . Um autovetor conveniente é

Passo 5

Para lambda2=tfrac5+raiz172 resolvemos (A-lambda2 I)v=0. Escolhendo x=1 e processando as equações, encontra-se
v2 = 8 -9 - raiz17 13 - 3raiz17 ,
que satisfaz (A-lambda2 I)v2=0.

Passo 6

De modo análogo, para lambda3=tfrac5-raiz172 obtemos
v3 = 8 -9 + raiz17 13 + 3raiz17 ,
que satisfaz (A-lambda3 I)v3=0.

Passo 7

Formamos a matriz M cujas colunas são os autovetores v1,v2,v3:
M = 0 & 8 & 8 1 & -9 - raiz17 & -9 + raiz17 -1& 13 - 3raiz17 & 13 + 3raiz17
Como os três autovalores são distintos, v1,v2,v3 são linearmente independentes e M é invertível. Então
M^-1 A M = lambda1 & 0 & 0 0 & lambda2 & 0 0 & 0 & lambda3 = -1 & 0 & 0 0 & tfrac5+raiz172 & 0 0 & 0 & tfrac5-raiz172

Resposta

Uma escolha conveniente é
M = 0 & 8 & 8 1 & -9 - raiz17 & -9 + raiz17 -1& 13 - 3raiz17 & 13 + 3raiz17 ,
pois nesse caso
M^-1A,M = diag!l(-1,tfrac5+raiz172,tfrac5-raiz172r)

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