Determine, se possível, uma matriz inversível
tal que
é diagonal nos casos abaixo:
(e)
e
.
(e)
Passo 1
O enunciado pede uma matriz invertível
Min M3(R) tal que
seja diagonal, onde
O conteúdo aqui é diagonalização de matriz via autovalores e autovetores.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico de
A definindo
Fazendo as operações de expansão, chega-se a
Passo 3
Buscando raízes racionais em
pm1,pm2 vemos que
p(-1)=0 . Dividindo por
lambda+1 obtemos o quociente
lambda^2-5lambda+2 , cujas raízes são
Logo os três autovalores são
todos distintos, o que garante que
A é diagonalizável.
Passo 4
Para
resolvemos
, ou seja
Dessas equações segue
e
. Um autovetor conveniente é
Passo 5
Para
lambda2=tfrac5+raiz172 resolvemos
(A-lambda2 I)v=0 . Escolhendo
x=1 e processando as equações, encontra-se
que satisfaz
(A-lambda2 I)v2=0 .
Passo 6
De modo análogo, para
lambda3=tfrac5-raiz172 obtemos
que satisfaz
(A-lambda3 I)v3=0 .
Passo 7
Formamos a matriz
M cujas colunas são os autovetores
v1,v2,v3 :
Como os três autovalores são distintos,
v1,v2,v3 são linearmente independentes e
M é invertível. Então
Resposta
Uma escolha conveniente é
pois nesse caso