Nos casos abaixo calcule a multiplicidade algébrica e a multiplicidade geométrica de cada autovalor do operador em questão:
(h) T: R^4 R^4 cuja matriz em relação à base canônica é dada por
(llll 3 & 1 & 0 & 0 0 & 3 & 0 & 0 0 & 0 & 4 & 0 0 & 0 & 0 & 3 )

Passo 1

O enunciado dá o operador TcolonR^4toR^4 cuja matriz na base canônica é
A = 3 & 1 & 0 & 0 0 & 3 & 0 & 0 0 & 0 & 4 & 0 0 & 0 & 0 & 3
O objetivo é calcular, para cada autovalor lambda, a multiplicidade algébrica (m.a.) e a multiplicidade geométrica (m.g.). Vamos usar o polinômio característico para obter a m.a. e resolver (A - lambda I)x=0 para a m.g.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A. Como A é triangular, temos
chiA(lambda) = det(A - lambda I) = (3-lambda),(3-lambda),(4-lambda),(3-lambda) = (3-lambda)^3,(4-lambda)
Logo os autovalores são lambda=3 e lambda=4.

Passo 3

A partir de chiA(lambda) lemos as multiplicidades algébricas:
ma(lambda=3) = 3, ma(lambda=4) = 1

Passo 4

Para lambda=3 resolvemos (A-3I)x=0. A matriz A-3I é
A - 3I = 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0
As equações são
x2 = 0, x3 = 0,
sem restrições em x1 e x4. Portanto o espaço próprio de lambda=3 tem dimensão 2, isto é,
mg(lambda=3) = 2

Passo 5

Para lambda=4 resolvemos (A-4I)x=0. A matriz A-4I é
A - 4I = -1 & 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & -1
As equações implicam
x1 = x2, x2 = 0, x4 = 0,
logo x1=x2=0 e x3 é livre. Assim o espaço próprio de lambda=4 tem dimensão 1, ou seja,
mg(lambda=4) = 1

Resposta

Para lambda=3:
m.a. (3)=3, m.g. (3)=2.
Para lambda=4:
m.a. (4)=1, m.g. (4)=1.

Exercícios relacionados