Nos casos abaixo, obtenha o operador adjunto e verifique em cada caso se o operador estudado é autoadjunto:
(d) T in L(R^2) dado por T(a, b)=(-b, a), considerando o produto interno usual de R^2.

Passo 1

O enunciado nos dá um operador linear Tcolon R^2 to R^2 definido por
T(a,b)=(-b,a),
e pede para encontrarmos o adjunto T^* em relação ao produto interno usual
lang<= (x1,x2),(y1,y2)rang<= = x1y1 + x2y2,
além de verificar se T é autoadjunto (isto é, se T^*=T).

Passo 2

Pela definição de adjunto, para todo (a,b) e (c,d) em R^2 vale
lang<= T(a,b),,(c,d)rang<= ;=;lang<= (a,b),,T^*(c,d)rang<=
Primeiro calculamos o lado esquerdo usando o produto interno usual:
lang<= T(a,b),,(c,d)rang<= = lang<=(-b,a),(c,d)rang<= = (-b),c ;+; a,d

Passo 3

Escrevemos T^*(c,d)=(x,y) e então
lang<= (a,b),,T^*(c,d)rang<= = lang<= (a,b),(x,y)rang<= = a,x ;+; b,y
Como essa expressão deve coincidir com (-b)c + a d para todo a,b, igualamos coeficientes:
  • Coeficiente de a: x = d.
  • Coeficiente de b: y = -c.
Logo
T^*(c,d) = (d,,-c)

Passo 4

Renomeando (c,d) para (a,b), obtemos
T^*(a,b) = (b,,-a)
Comparando com T(a,b)=(-b,a), vemos que
T^*(a,b)neq T(a,b),
portanto T não é autoadjunto.

Resposta

O adjunto é
T^*(a,b) = (b,,-a),
e T não é autoadjunto.

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