Nos casos abaixo, obtenha o operador adjunto e verifique em cada caso se o operador estudado é autoadjunto:
(d)
dado por
, considerando o produto interno usual de
.
(d)
Passo 1
O enunciado nos dá um operador linear
definido por
e pede para encontrarmos o adjunto
em relação ao produto interno usual
,
além de verificar se é autoadjunto (isto é, se
).
além de verificar se
Passo 2
Pela definição de adjunto, para todo
e
em
vale
Primeiro calculamos o lado esquerdo usando o produto interno usual:
Passo 3
Escrevemos
e então
Como essa expressão deve coincidir com
para todo
, igualamos coeficientes:
- Coeficiente de
: . - Coeficiente de
: .
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Passo 4
Renomeando
para
, obtemos
Comparando com
, vemos que
portanto
não é autoadjunto.
Resposta
O adjunto é
e
não é autoadjunto.