Nos casos abaixo, obtenha o operador adjunto e verifique em cada caso se o operador estudado é autoadjunto:
(e)
dado por
, considerando
.
(e)
Passo 1
O enunciado está em
com produto interno
e o operador
. Queremos
tal que
para todos
.
Passo 2
Calculemos a integral por partes:
Logo
Para ficar
, escrevemos
para certo
.
Passo 3
Procuramos
que satisfaz
para todo
. Tomando
obtemos o sistema
Passo 4
Resolvendo esse sistema (por subtrações e combinação linear) chega-se a
Portanto
Passo 5
Reunindo, da parte por partes temos
logo
Para ser autoadjunto precisamos
T^*(q)=T(q) , ou seja
-q'+r=q' para todo
q , o que daria
r=2q' . Mas
r é grau
<=2 enquanto
q' é grau
<=1 em geral, então isso não vale para todo
q .
Resposta
O adjunto é
e
T não é autoadjunto.