Nos casos abaixo, obtenha o operador adjunto e verifique em cada caso se o operador estudado é autoadjunto:
(e) T in L(P2(R)) dado por T(p(t))=p^prime(t), considerando lang<= p(t), q(t)rang<==integral0^1 p(t) q(t) d t.

Passo 1

O enunciado está em P2(R) com produto interno
lang<= p,qrang<= = integral0^1p(t),q(t),dt
e o operador Tcolon pmapsto p'. Queremos T^* tal que
lang<= T(p),,qrang<= ;=;lang<= p,,T^*(q)rang<=
para todos p,qin P2.

Passo 2

Calculemos a integral por partes:
integral0^1p'(t),q(t),dt = l[p(t),q(t)r]0^1 ;-;integral0^1p(t),q'(t),dt = p(1)q(1)-p(0)q(0);-;lang<= p,,q'rang<=
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lang<= T(p),qrang<= = p(1)q(1)-p(0)q(0);-;lang<= p,,q'rang<=
Para ficar lang<= p,dotsrang<=, escrevemos
p(1)q(1)-p(0)q(0)=lang<= p,,rrang<=
para certo rin P2.

Passo 3

Procuramos
r(t)=lambda0+lambda1 t+lambda2 t^2
que satisfaz
integral0^1 p(t),r(t),dt = p(1)q(1)-p(0)q(0)
para todo p. Tomando p(t)=1, t, t^2 obtemos o sistema
lambda0 + tfrac12 lambda1 + tfrac13 lambda2 = q(1)-q(0),[6pt] tfrac12 lambda0 + tfrac13 lambda1 + tfrac14 lambda2 = q(1),[6pt] tfrac13 lambda0 + tfrac14 lambda1 + tfrac15 lambda2 = q(1) ]

Passo 4

Resolvendo esse sistema (por subtrações e combinação linear) chega-se a
lambda0 = 3,q(1)-9,q(0), lambda1 = 36,q(0)-24,q(1), lambda2 = 30l(q(1)-q(0)r)
Portanto
r(t) = l(3,q(1)-9,q(0)r) +l(36,q(0)-24,q(1)r)t +30l(q(1)-q(0)r)t^2

Passo 5

Reunindo, da parte por partes temos
lang<= T(p),qrang<= = lang<= p,,(-q')rang<= + lang<= p,,rrang<= = lang<= p,,l(-q'(t)+r(t)r)rang<=,
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T^*(q)(t) = -,q'(t) ;+;r(t)
Para ser autoadjunto precisamos T^*(q)=T(q), ou seja -q'+r=q' para todo q, o que daria r=2q'. Mas r é grau <=2 enquanto q' é grau <=1 em geral, então isso não vale para todo q.

Resposta

O adjunto é
T^*(q)(t)=-q'(t) +l(3,q(1)-9,q(0)r) +l(36,q(0)-24,q(1)r)t +30l(q(1)-q(0)r)t^2,
e T não é autoadjunto.

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