Dê um exemplo de:
(a) um operador que não é autoadjunto e , para alguma base B.
Passo 1
Queremos um operador linear T num espaço com produto interno tal que ele não seja autoadjunto (ou seja, Tneq T^*), mas cuja matriz em alguma base B satisfaz
(T)B ;=;l((T)Br)^t,
Lembremos que em uma base não ortonormal a condição (T)B=(T)B^t não garante autoadjuntidade de T.
Passo 2
Escolhemos V=R^2 com o produto interno canônico lang<= (x1,x2),(y1,y2)rang<= = x1y1 + x2y2.
Tomemos a base não ortonormal
B=,b1=(1,0),;b2=(1,1)
Passo 3
Definimos T declarando sua matriz em B como
(T)B = 1 & 0 0 & 2
Essa matriz é real e diagonal, logo
(T)B=(T)B^t Longrightarrow (T)B=l((T)Br)^t
Passo 4
Para ver que Tnão é autoadjunto, escrevemos sua matriz na base ortonormal canônica E=e1,e2.
O cambio de base de B para E é dado por
P = l[,b1;b2r] =1&10&1, P^-1=1&-10&1
Então
(T)E = P,(T)B,P^-1 =1&10&1 1&00&2 1&-10&1 =1&10&2
Como essa matriz não é simétrica (o elemento (1,2) é 1 e (2,1) é 0), concluímos que
(T)Eneq l((T)Er)^t Longrightarrow Tneq T^*
Resposta
Um exemplo concreto é o operador T:R^2toR^2 que em B=(1,0),(1,1) tem
(T)B =1&00&2,
que satisfaz (T)B=(T)B^t, mas cuja matriz na base canônica é