Dê um exemplo de:
(a) um operador que não é autoadjunto e (T)B=(T)B^t, para alguma base B.

Passo 1

Queremos um operador linear T num espaço com produto interno tal que ele não seja autoadjunto (ou seja, Tneq T^*), mas cuja matriz em alguma base B satisfaz
(T)B ;=;l((T)Br)^t,
Lembremos que em uma base não ortonormal a condição (T)B=(T)B^t não garante autoadjuntidade de T.

Passo 2

Escolhemos V=R^2 com o produto interno canônico
lang<= (x1,x2),(y1,y2)rang<= = x1y1 + x2y2.
Tomemos a base não ortonormal
B=,b1=(1,0),;b2=(1,1)

Passo 3

Definimos T declarando sua matriz em B como
(T)B = 1 & 0 0 & 2
Essa matriz é real e diagonal, logo
(T)B=(T)B^t Longrightarrow (T)B=l((T)Br)^t

Passo 4

Para ver que T não é autoadjunto, escrevemos sua matriz na base ortonormal canônica E=e1,e2.
O cambio de base de B para E é dado por
P = l[,b1;b2r] =1&10&1, P^-1=1&-10&1
Então
(T)E = P,(T)B,P^-1 =1&10&1 1&00&2 1&-10&1 =1&10&2
Como essa matriz não é simétrica (o elemento (1,2) é 1 e (2,1) é 0), concluímos que
(T)Eneq l((T)Er)^t Longrightarrow Tneq T^*

Resposta

Um exemplo concreto é o operador T:R^2toR^2 que em B=(1,0),(1,1) tem
(T)B =1&00&2,
que satisfaz (T)B=(T)B^t, mas cuja matriz na base canônica é
(T)E =1&10&2,
não simétrica, mostrando que T não é autoadjunto.

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