Nos casos abaixo, determine A^-1, utilizando operações elementares, se esta existir.
A=[lll2 & 1 & 3 4 & 2 & 2 2 & 5 & 3];

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inversa de
A = 2 & 1 & 3 4 & 2 & 2 2 & 5 & 3
usando operações elementares (método de Gauss–Jordan). Vamos montar a matriz aumentada l[Amid Ir] e transformá-la até obter l[Imid A^-1r].

Passo 2

Montamos a matriz aumentada:
l[Amid Ir] = 2 & 1 & 3 & mid & 1 & 0 & 0 4 & 2 & 2 & mid & 0 & 1 & 0 2 & 5 & 3 & mid & 0 & 0 & 1

Passo 3

Fazemos R1 tfrac12 R1 para obter 1 no pivô da primeira coluna:
1 & tfrac12 & tfrac32 & mid & tfrac12 & 0 & 0 4 & 2 & 2 & mid & 0 & 1 & 0 2 & 5 & 3 & mid & 0 & 0 & 1

Passo 4

Eliminamos abaixo do pivô (coluna 1):
R2 R2 - 4R1 e R3 R3 - 2R1, resultando em
1 & tfrac12 & tfrac32 & mid & tfrac12 & 0 & 0 0 & 0 & -4 & mid & -2 & 1 & 0 0 & 4 & 0 & mid & -1 & 0 & 1

Passo 5

Como o elemento (2,2) ficou zero, trocamos R2rightarrow R3:
1 & tfrac12 & tfrac32 & mid & tfrac12 & 0 & 0 0 & 4 & 0 & mid & -1 & 0 & 1 0 & 0 & -4 & mid & -2 & 1 & 0

Passo 6

Normalizamos o pivô da segunda linha: R2 tfrac14 R2:
1 & tfrac12 & tfrac32 & mid & tfrac12 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & mid & -tfrac14 & 0 & tfrac14 0 & 0 & -4 & mid & -2 & 1 & 0

Passo 7

Eliminamos acima do pivô da segunda coluna: R1 R1 - tfrac12 R2:
1 & 0 & tfrac32 & mid & tfrac12 - tfrac12l(-tfrac14r) & 0 & 0 - tfrac12l(tfrac14r) 0 & 1 & 0 & mid & -tfrac14 & 0 & tfrac14 0 & 0 & -4 & mid & -2 & 1 & 0
ou seja,
1 & 0 & tfrac32 & mid & tfrac58 & 0 & -tfrac18 0 & 1 & 0 & mid & -tfrac14 & 0 & tfrac14 0 & 0 & -4 & mid & -2 & 1 & 0

Passo 8

Normalizamos o pivô da terceira linha: R3 -tfrac14 R3:
1 & 0 & tfrac32 & mid & tfrac58 & 0 & -tfrac18 0 & 1 & 0 & mid & -tfrac14 & 0 & tfrac14 0 & 0 & 1 & mid & tfrac12 & -tfrac14 & 0

Passo 9

Eliminamos acima do pivô da terceira coluna: R1 R1 - tfrac32 R3 (em R2 o elemento já é zero). Isso dá
1 & 0 & 0 & mid & tfrac58 - tfrac32l(tfrac12r),;0 - tfrac32l(-tfrac14r),;- tfrac18 - tfrac32cdot 0 0 & 1 & 0 & mid & -tfrac14 & 0 & tfrac14 0 & 0 & 1 & mid & tfrac12 & -tfrac14 & 0
ou seja,
1 & 0 & 0 & mid & -tfrac18 & tfrac38 & -tfrac18 0 & 1 & 0 & mid & -tfrac14 & 0 & tfrac14 0 & 0 & 1 & mid & tfrac12 & -tfrac14 & 0

Resposta

A inversa é
A^-1 = -tfrac18 & tfrac38 & -tfrac18 -tfrac14 & 0 & tfrac14 tfrac12 & -tfrac14 & 0

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