Nos casos abaixo, determine A^-1, utilizando operações elementares, se esta existir.
A=[llll1 & 0 & 0 & 0 2 & 1 & 0 & 0 3 & 2 & 1 & 0 4 & 3 & 2 & 1];

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 0 & 0 & 0 2 & 1 & 0 & 0 3 & 2 & 1 & 0 4 & 3 & 2 & 1
que é triangular inferior com todos os elementos da diagonal iguais a 1. Para achar A^-1 usaremos o método de Gauss–Jordan, ou seja, augmentamos A com I e aplicamos operações elementares de linha até reduzir a parte esquerda a I. Como os pivôs são todos não nulos, A é invertível.

Passo 2

Escrevemos o sistema ampliado (Amid I):
[ cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 3 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 4 & 3 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

Eliminamos as entradas abaixo do pivô em linha 1 fazendo
R2 R2-2R1,
R3 R3-3R1 e
R4 R4-4R1.
O ampliado fica
[ cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 0 & 2 & 1 & 0 & -3 & 0 & 1 & 0 0 & 3 & 2 & 1 & -4 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 4

Agora eliminamos abaixo do pivô em linha 2 fazendo
R3 R3-2R2 e
R4 R4-3R2.
Obtém-se
[ cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 0 & 0 & 2 & 1 & 2 & -3 & 0 & 1 ]

Passo 5

Por fim, eliminamos abaixo do pivô em linha 3 com
R4 R4-2R3,
chegando a
[ cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & -2 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & -2 & 1 ]

Passo 6

A parte esquerda virou a identidade, logo a parte direita é exatamente A^-1.

Resposta

A^-1 = 1 & 0 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 & 0 1 & -2 & 1 & 0 0 & 1 & -2 & 1

Exercícios relacionados