Encontre o polinômio minimal de cada um dos operadores abaixo e identifique os que são diagonalizáveis. Quando o operador for diagonalizável, determine uma base do espaço em relação a qual a matriz do operador é diagonal e escreva essa matriz. , definida por .
Passo 1
O enunciado pede para achar o polinômio minimal de e verificar se é diagonalizável. Aqui o conteúdo é álgebra linear: representação matricial de um operador, cálculo do polinômio característico e minimal, e diagonalização via eigenvetores.
Passo 2
Na base canônica de temos
Logo a matriz de é
que é triangular superior com entradas diagonais 1,2,3.
Passo 3
O polinômio característico de A é
det(A - tI) = (1-t)(2-t)(3-t)
Como os autovalores são lambda1=1, lambda2=2, lambda3=3 distintos, o polinômio minimal deve ser produto dos três fatores lineares.
Passo 4
Logo o polinômio minimal de T é
mT(t) = (t-1)(t-2)(t-3)
Como mT tem raízes simples, T é diagonalizável.
Passo 5
Para cada autovalor, resolvemos (A-lambda I)v=0:
Para lambda=1:
(A-I)v=0 implies v=(x,0,0),
base (1,0,0).
Para lambda=2:
(A-2I)v=0 implies v=(x,x,0),
base (1,1,0).
Para lambda=3:
(A-3I)v=0 implies v=(x,x,x),
base (1,1,1).
Assim uma base de R^3 que diagonaliza T é
B = (1,0,0),,(1,1,0),,(1,1,1),
e a matriz de T nessa base é
[T]B = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3
Resposta
O polinômio minimal é
mT(t) = (t-1)(t-2)(t-3)
O operador T é diagonalizável. Uma base de autovetores é