Encontre o polinômio minimal de cada um dos operadores abaixo e identifique os que são diagonalizáveis. Quando o operador for diagonalizável, determine uma base do espaço em relação a qual a matriz do operador é diagonal e escreva essa matriz.
T: R^3 longrightarrow R^3, definida por T(x, y, z)=(x+y+z, 2 y+z, 3 z).

Passo 1

O enunciado pede para achar o polinômio minimal de T e verificar se T é diagonalizável. Aqui o conteúdo é álgebra linear: representação matricial de um operador, cálculo do polinômio característico e minimal, e diagonalização via eigenvetores.

Passo 2

Na base canônica de R^3 temos
T(1,0,0) = (1,0,0), T(0,1,0) = (1,2,0), T(0,0,1) = (1,1,3)
Logo a matriz de T é
A = 1 & 1 & 1 0 & 2 & 1 0 & 0 & 3 ,
que é triangular superior com entradas diagonais 1,2,3.

Passo 3

O polinômio característico de A é
det(A - tI) = (1-t)(2-t)(3-t)
Como os autovalores são lambda1=1, lambda2=2, lambda3=3 distintos, o polinômio minimal deve ser produto dos três fatores lineares.

Passo 4

Logo o polinômio minimal de T é
mT(t) = (t-1)(t-2)(t-3)
Como mT tem raízes simples, T é diagonalizável.

Passo 5

Para cada autovalor, resolvemos (A-lambda I)v=0:
Para lambda=1:
(A-I)v=0 implies v=(x,0,0),
base (1,0,0).
Para lambda=2:
(A-2I)v=0 implies v=(x,x,0),
base (1,1,0).
Para lambda=3:
(A-3I)v=0 implies v=(x,x,x),
base (1,1,1).
Assim uma base de R^3 que diagonaliza T é
B = (1,0,0),,(1,1,0),,(1,1,1),
e a matriz de T nessa base é
[T]B = 1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3

Resposta

O polinômio minimal é
mT(t) = (t-1)(t-2)(t-3)
O operador T é diagonalizável. Uma base de autovetores é
(1,0,0),,(1,1,0),,(1,1,1),
e nessa base a matriz é
1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & 3

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