Nos casos abaixo, pede-se: verificar se
é inversível;
, a matriz cofatora de
, e
, a matriz inversa de
(usando
), se esta existir.
.
Passo 1
O enunciado pede que verifiquemos se a matriz
é invertível; em caso afirmativo, calculemos a matriz cofatora
cof(A) e a inversa
A^-1 usando a relação
Para isso precisamos primeiro encontrar
det(A) , depois cada co-fator
Cij=(-1)^i+jMij (onde
Mij é o menor complementar) e, por fim, montar
A^-1 .
Passo 2
Como a quarta coluna de
A tem três zeros, expandimos
det(A) pela quarta coluna:
onde
Calculando
det(B) por regra de Sarrus ou expansão,
Logo
Passo 3
Como
det(A)=72neq0 , concluímos que
A é invertível.
Passo 4
Vamos calcular os cofatores da primeira linha (
i=1 ). Usando
C1j=(-1)^1+jdetl(A sem linha
1 , coluna
jr) :
-
,C11=0 (ambos menores têm linha nula ou colunas com zeros).C12=0 -
C13=+1cdotdet2&-1&04&0&05&2&3=12 -
C14=-1cdotdet2&-1&04&0&05&2&-4=16
Passo 5
Cofatores da segunda linha (
i=2 ):
-
.C21=0 -
C22=+1cdotdet3&6&04&0&05&-4&3=-72 -
C23=-1cdotdet3&5&04&0&05&2&3=60 -
C24=+1cdotdet3&5&64&0&05&2&-4=128
Passo 6
Cofatores da terceira linha (
i=3 ):
-
C31=+1cdotdet5&6&0-1&0&02&-4&3=18 -
C32=-1cdotdet3&6&02&0&05&-4&3=36 -
C33=+1cdotdet3&5&02&-1&05&2&3=-39 -
C34=-1cdotdet3&5&62&-1&05&2&-4=-106
Passo 7
Cofatores da quarta linha (
i=4 ):
-
(menores com linha ou coluna nula).C41=C42=C43=0 -
C44=+1cdotdet3&5&62&-1&04&0&0=24
Passo 8
Montando
cof(A)=[Cij] e transpondo, obtemos a adjunta. Em seguida
Resposta
A matriz é invertível pois
det(A)=72 .