Nos casos abaixo, pede-se: verificar se A é inversível; cof(A), a matriz cofatora de A, e A^-1, a matriz inversa de A (usando cof(A) ), se esta existir.
A=[cccc3 & 5 & 6 & 0 2 & -1 & 0 & 0 4 & 0 & 0 & 0 5 & 2 & -4 & 3].

Passo 1

O enunciado pede que verifiquemos se a matriz
A = 3 & 5 & 6 & 0 2 & -1 & 0 & 0 4 & 0 & 0 & 0 5 & 2 & -4 & 3
é invertível; em caso afirmativo, calculemos a matriz cofatora cof(A) e a inversa A^-1 usando a relação
A^-1 = (cof(A))^Tdet(A)
Para isso precisamos primeiro encontrar det(A), depois cada co-fator Cij=(-1)^i+jMij (onde Mij é o menor complementar) e, por fim, montar A^-1.

Passo 2

Como a quarta coluna de A tem três zeros, expandimos det(A) pela quarta coluna:
det(A) = a44,(-1)^4+4det! 3 & 5 & 6 2 & -1 & 0 4 & 0 & 0 = 3cdotdet(B),
onde
B= 3 & 5 & 6 2 & -1 & 0 4 & 0 & 0
Calculando det(B) por regra de Sarrus ou expansão,
det(B) =3l((-1)cdot0-0cdot0r) -5l(2cdot0-0cdot4r) +6l(2cdot0-(-1)cdot4r) =6cdot4=24
Logo
det(A)=3cdot24=72

Passo 3

Como det(A)=72neq0, concluímos que A é invertível.

Passo 4

Vamos calcular os cofatores da primeira linha ( i=1). Usando C1j=(-1)^1+jdetl(A sem linha 1, coluna jr):
  • C11=0, C12=0 (ambos menores têm linha nula ou colunas com zeros).
  • C13=+1cdotdet2&-1&04&0&05&2&3=12
  • C14=-1cdotdet2&-1&04&0&05&2&-4=16

Passo 5

Cofatores da segunda linha ( i=2):
  • C21=0.
  • C22=+1cdotdet3&6&04&0&05&-4&3=-72
  • C23=-1cdotdet3&5&04&0&05&2&3=60
  • C24=+1cdotdet3&5&64&0&05&2&-4=128

Passo 6

Cofatores da terceira linha ( i=3):
  • C31=+1cdotdet5&6&0-1&0&02&-4&3=18
  • C32=-1cdotdet3&6&02&0&05&-4&3=36
  • C33=+1cdotdet3&5&02&-1&05&2&3=-39
  • C34=-1cdotdet3&5&62&-1&05&2&-4=-106

Passo 7

Cofatores da quarta linha ( i=4):
  • C41=C42=C43=0 (menores com linha ou coluna nula).
  • C44=+1cdotdet3&5&62&-1&04&0&0=24

Passo 8

Montando cof(A)=[Cij] e transpondo, obtemos a adjunta. Em seguida
A^-1=(cof(A))^Tdet(A)

Resposta

A matriz é invertível pois det(A)=72.
cof(A) = 0 & 0 & 12 & 16 0 & -72 & 60 & 128 18 & 36 & -39 & -106 0 & 0 & 0 & 24 , A^-1=172 0 & 0 & 18 & 0 0 & -72 & 36 & 0 12 & 60 & -39 & 0 16 & 128 & -106 & 24 = 0 & 0 & tfrac14 & 0 0 & -1 & tfrac12 & 0 tfrac16 & tfrac56 & -tfrac1324 & 0 tfrac29 & tfrac169 & -tfrac5336 & tfrac13

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