Encontre o polinômio minimal de cada um dos operadores abaixo e identifique os que são diagonalizáveis. Quando o operador for diagonalizável, determine uma base do espaço em relação a qual a matriz do operador é diagonal e escreva essa matriz.
T: R^3 longrightarrow R^3, definida por T(x, y, z)=(x+3 y-3 z, 4 y,-3 x+3 y-z).

Passo 1

O enunciado pede o polinômio minimal de
TcolonR^3toR^3 definido por
T(x,y,z)=(x+3y-3z,;4y,;-3x+3y-z),
e em seguida identificar se T é diagonalizável. Se for, precisamos exibir uma base de autovetores que diagonaliza T e a matriz diagonal resultante. Para isso, vamos:
  1. Escrever a matriz de T na base canônica.
  2. Calcular o polinômio característico e daí o polinômio minimal.
  3. Determinar autovalores e autovetores.
  4. Concluir sobre diagonalizabilidade e expor a base e a matriz diagonal.

Passo 2

Na base canônica e1,e2,e3 temos
T(e1)=T(1,0,0)=(1,0,-3), T(e2)=T(0,1,0)=(3,4,3), T(e3)=T(0,0,1)=(-3,0,-1)
Logo a matriz de T é
A= 1 & 3 & -3 0 & 4 & 0 -3 & 3 & -1

Passo 3

O polinômio característico é
p(lambda)=det(A-lambda I) =(4-lambda)l(lambda^2-10r)
Os autovalores são
lambda=4 e lambda=pmraiz10.
Como são três autovalores distintos, o polinômio minimal coincide com o produto dos fatores lineares:
m(lambda)=(lambda-4),(lambda^2-10)

Passo 4

Agora achamos os autovetores:
  • Para lambda=4, resolvendo (A-4I)v=0 obtemos z=0 e x=y, logo um gerador é
v1=(1,1,0)
  • Para lambda=raiz10, o sistema dá y=0 e z=tfrac1-raiz103,x. Escolhemos
v2=l(3,0,,1-raiz10r)
  • Para lambda=-raiz10, similarmente y=0 e z=tfrac1+raiz103,x. Tomamos
v3=l(3,0,,1+raiz10r)

Passo 5

Como temos três autovetores linearmente independentes, T é diagonalizável. Na base
v1,v2,v3 a matriz de T é a diagonal dos autovalores na mesma ordem:
D= 4 & 0 & 0 0 & raiz10 & 0 0 & 0 & -raiz10

Resposta

  • Polinômio minimal:
    m(lambda)=(lambda-4)(lambda^2-10).
  • T é diagonalizável.
  • Base que diagonaliza:
    (1,1,0),,(3,0,1-raiz10),,(3,0,1+raiz10).
  • Matriz diagonal na ordem desta base:
    4 & 0 & 0 0 & raiz10 & 0 0 & 0 & -raiz10

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