Para os casos abaixo encontre a probabilidade pela distribuição binomial e pela aproximação pela normal. Identifique se o resultado da aproximação foi bom ou não, e explique por quê.
Com
e
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.
Com
Passo 1
O enunciado pede para calcular a probabilidade de obter exatamente 8 sucessos em uma variável aleatória binomial com parâmetros n=14 e p=0,5, e depois aproximar esse valor pela distribuição normal. Vamos usar a fórmula da binomial, a média e desvio padrão para a normal, e a correção de continuidade.
Passo 2
Para o cálculo exato, aplicamos a fórmula da distribuição binomial:
Substituindo n=14, k=8 e p=0,5:
Passo 3
Para a aproximação normal, primeiro calculamos média e desvio padrão:
Usamos correção de continuidade para P(7.5<X<8.5). Calculamos os escores Z:
Na tabela da normal padrão:
Passo 4
Comparando os valores: P_binomial≈0.1833 e P_normal≈0.184. A aproximação é muito boa, pois temos p=0.5 e np = n(1-p) = 7 ≥ 5, condições que garantem boa concordância entre binomial e normal.
Resposta
P(X=8) pelo modelo binomial = 0.1833; pela aproximação normal = 0.184. A aproximação foi muito boa porque p=0.5 e np, n(1-p) ≥ 5.