Para os casos abaixo encontre a probabilidade pela distribuição binomial e pela aproximação pela normal. Identifique se o resultado da aproximação foi bom ou não, e explique por quê.
Com n=14 e =0,50, determine P(X=8).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a probabilidade de obter exatamente 8 sucessos em uma variável aleatória binomial com parâmetros n=14 e p=0,5, e depois aproximar esse valor pela distribuição normal. Vamos usar a fórmula da binomial, a média e desvio padrão para a normal, e a correção de continuidade.

Passo 2

Para o cálculo exato, aplicamos a fórmula da distribuição binomial:
P(X=k)=binomnk,p^k,(1-p)^n-k
Substituindo n=14, k=8 e p=0,5:
P(X=8)=binom148(0.5)^8(0.5)^6 = 30032^14 approx 0.1833

Passo 3

Para a aproximação normal, primeiro calculamos média e desvio padrão:
mu = np = 14cdot0.5 = 7, sigma = raiznp(1-p) = raiz14cdot0.5cdot0.5 = raiz3.5 approx 1.87
Usamos correção de continuidade para P(7.5<X<8.5). Calculamos os escores Z:
Z1 = 7.5 - 71.87 approx 0.267, Z2 = 8.5 - 71.87 approx 0.802
Na tabela da normal padrão:
P(0.267 < Z < 0.802) = Phi(0.802) - Phi(0.267) approx 0.789 - 0.605 = 0.184

Passo 4

Comparando os valores: P_binomial≈0.1833 e P_normal≈0.184. A aproximação é muito boa, pois temos p=0.5 e np = n(1-p) = 7 ≥ 5, condições que garantem boa concordância entre binomial e normal.

Resposta

P(X=8) pelo modelo binomial = 0.1833; pela aproximação normal = 0.184. A aproximação foi muito boa porque p=0.5 e np, n(1-p) ≥ 5.

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