Imagine que a UFSC tivesse antecipado os resultados abaixo, referentes aos candidatos não eliminados, antes de divulgar a relação com as notas de todos os candidatos.
Pontuação Final Vestibular UFSC - lcc mu
Economia Administração
Média 50,92 55,11
Desvio padrão 9,09 8,22
Vagas/Candidatos 0,370 0,412
Admitindo que as notas são normalmente distribuídas:
a) O que você responderia para um candidato à Economia que estimasse ter conseguido 50 pontos? Na sua opinião ele conseguiria se classificar? E se ele estimasse ter conseguido 60 pontos? (R.: Não; Sim)
b) O que você responderia para candidatos aos cursos de Economia e Administração que estimassem ter conseguido, respectivamente, 55 e 58 pontos? (R.: Ambos aprovados)
c) Imagine que você tenha que responder a dezenas de vestibulandos; para poupar trabalho, estime a nota mínima para classificação em cada curso. (R.: economia =54; administração =57 )

Passo 1

O enunciado nos dá as notas finais de vestibular como normalmente distribuídas, com média (μ), desvio-padrão (σ) e razão vagas/candidatos §. Vamos usar o conceito de escore padronizado (z-score) para converter estimativas de nota em probabilidades e, para a nota mínima, acharmos o quantil adequado da normal.

Passo 2

Para avaliar se uma nota estimada x é suficiente, calculamos o z-score:
z = x - musigma
e depois a probabilidade de ficar acima de x: P(X>x)=1−Φ(z), onde Φ é a função de distribuição acumulada da normal padrão. Se P(X>x) é menor ou igual à razão p de vagas, o candidato estaria entre os melhores p*100%, logo seria aprovado.

Passo 3

Para Economia e x=50:
z = 50 - 50,929,09 approx -0,101
Logo
P(X>50) = 1 - Φ(-0,101) = 1 - 0,460 approx 0,540
Como 0,540 > 0,370, a probabilidade de ultrapassar 50 é maior que a fração de vagas, ou seja, nota 50 não garante classificação.

Passo 4

Para Economia e x=60:
z = 60 - 50,929,09 approx 1,00
Logo
P(X>60) = 1 - Φ(1,00) approx 1 - 0,841 = 0,159
Como 0,159 < 0,370, nota 60 está dentro dos piores 15,9% acima de 60, ou seja, seria aprovado.

Passo 5

Para 55 em Economia e 58 em Administração:
Economia: z = (55 - 50,92)/9,09 approx 0,449, então P(X>55)=1−Φ(0,449)≈1−0,673=0,327<0,370 ⇒ aprovado.
Administração: z = (58 - 55,11)/8,22 approx 0,352, então P(X>58)=1−Φ(0,352)≈1−0,638=0,362<0,412 ⇒ aprovado.

Passo 6

Nota mínima para classificação: queremos o quantil q tal que P(X>q)=p, isto é P(X≤q)=1−p.
Economia: 1−0,370=0,630 ⇒ z₀≈0,33 ⇒
q = 50,92 + 0,33times9,09 approx 53,92 approx 54
Administração: 1−0,412=0,588 ⇒ z₀≈0,23 ⇒
q = 55,11 + 0,23times8,22 approx 57,00

Resposta

a) Não; Sim
b) Ambos aprovados
c) Economia = 54; Administração = 57

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