Para os casos abaixo encontre a probabilidade pela distribuição binomial e pela aproximação pela normal. Identifique se o resultado da aproximação foi bom ou não, e explique por quê.
Com n=10 e p=0,40, determine P(X=7).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a probabilidade de exatamente 7 sucessos em uma variável aleatória X∼Binomial(n=10,p=0,4), usando primeiro a fórmula exata da binomial e depois a aproximação pela normal com correção de continuidade. O conteúdo envolve distribuição binomial e aproximação normal (Teorema Central do Limite) — vamos precisar da fórmula P(X=k)= binomnk p^k (1-p)^n-k e da normal N(μ,np;σ^2=np(1−p)).

Passo 2

Para o cálculo exato pela distribuição binomial, usamos a fórmula
P(X=7)=binom107 (0,4)^7 (0,6)^3
Calculando: binom107=120, (0,4)^7≈0,0016384 e (0,6)^3=0,216. Logo
P(X=7)=120times0,0016384times0,216≈0,0425

Passo 3

Para a aproximação pela normal fazemos X≈Y∼N(μ=10·0,4=4, σ^2=10·0,4·0,6=2,4 ⇒ σ≈1,549). Aplicamos correção de continuidade para P(6,5<Y<7,5). Padronizando:
Z1=6,5-41,549≈1,613, Z2=7,5-41,549≈2,259
Usando a tabela da normal:
P(6,5

Passo 4

Comparando os resultados: 0,0425 (binomial exata) vs. 0,0414 (normal). A diferença é muito pequena (~0,0011), então a aproximação foi boa apesar de n relativamente pequeno, especialmente porque adotamos a correção de continuidade, que melhora a correspondência entre discreto e contínuo.

Resposta

Pela binomial: 0,0425; pela normal (com correção de continuidade): 0,0414. A aproximação foi boa, pois a diferença é muito pequena (≈0,0011) graças à correção de continuidade.

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