Para os casos abaixo encontre a probabilidade pela distribuição binomial e pela aproximação pela normal. Identifique se o resultado da aproximação foi bom ou não, e explique por quê.
Com n=15 e p=0,80, determine P(X >= 8).

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma variável aleatória X∼Binomial(n=15,p=0,80) e queremos calcular P(X≥8). Vamos usar o modelo exato da distribuição binomial e depois fazer a aproximação pela normal com correção de continuidade.

Passo 2

Cálculo exato pela distribuição binomial: usamos
P(X>=8)=1-P(X<=7)=1-sumk=0^7binom15k(0,8)^k(0,2)^15-k
Somando os termos de k=0 até k=7 obtemos P(X≤7)≈0,00424. Logo
P(X>=8)=1-0,00424=0,99576

Passo 3

Aproximação pela normal: em geral precisamos de np≥5 e n(1−p)≥5, mas aqui np=12≥5 e n(1−p)=3<5 (atenção! critério não completamente satisfeito). Mesmo assim, fazendo a aproximação e aplicando correção de continuidade:
mu=np=15cdot0,8=12,sigma=raiz15cdot0,8cdot0,2=raiz2,4approx1,549
Como queremos P(X≥8), passamos para P(Y≥7,5) com Y∼N(12,1,549²). Calculamos
Z=7,5-121,549approx-2,903, P(X>=8)approx Pl(Z>-2,903r)=Phi(2,903)approx0,9982

Passo 4

Análise da aproximação: o valor exato é 0,9958 e o aproximado é 0,9982, diferença de cerca de 0,0024. Apesar de n(1−p)=3<5, o resultado ficou bastante próximo graças à correção de continuidade e ao fato de estarmos em uma cauda da distribuição.

Resposta

Pelo binomial: P(X≥8)≈0,9958; pela normal com correção: P(X≥8)≈0,9982. A aproximação foi razoavelmente boa (erro ≈0,0024), embora n(1−p)<5 exija cuidado.

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