Para os casos abaixo encontre a probabilidade pela distribuição binomial e pela aproximação pela normal. Identifique se o resultado da aproximação foi bom ou não, e explique por quê.
Com n = 14 e p = 0,60, determine P(X<9).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a probabilidade P(X<9) onde X segue uma distribuição binomial com parâmetros n=14 e p=0,6. Vamos usar a fórmula da binomial para o valor exato e depois usar a aproximação pela normal com correção de continuidade.

Passo 2

Para o cálculo exato, usamos
P(X<9)=sumx=0^8binom14x(0,6)^x(0,4)^14-x
Somando esses termos (ou usando software/tabela), obtemos
P(X<9)approx0,5141

Passo 3

Para a aproximação normal, primeiro identificamos média e desvio padrão:
mu = np = 14times0,6 = 8,4,
sigma = raiznp(1-p) = raiz14times0,6times0,4approx1,833
Aplicamos correção de continuidade para P(X<9)equiv P(X<=8)approx Pl(X<=8,5r) e transformamos em Z:
Z = 8,5 - 8,41,833 approx0,0546
Então
P(X<9)approx P(Z<0,0546)approx0,5220

Passo 4

Comparando os valores exato (0{,}5141) e aproximado (0{,}5220), vemos um erro de cerca de 0{,}8%. Como np=8,4 e n(1-p)=5,6 são maiores que 5, a aproximação normal com correção de continuidade é considerada boa.

Resposta

Pelo método exato: 0,5141; pela aproximação normal: 0,5220. A aproximação é boa (erro ~0,8%) porque np=8,4 e n(1-p)=5,6 satisfazem a regra de ouro para a normalização.

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