Para os casos abaixo encontre a probabilidade pela distribuição binomial e pela aproximação pela normal. Identifique se o resultado da aproximação foi bom ou não, e explique por quê.
Com n = 20 e p =0,20, determine P(X <= 2).

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer calcular a probabilidade P(X<=2) para X seguindo uma distribuição Binomial de parâmetros n=20 e p=0,20. O conteúdo aqui é probabilidade binomial e aproximação por Normal. Vamos usar a fórmula da binomial para a resposta exata e, para a aproximação normal, vamos precisar da média, do desvio padrão e da correção de continuidade.

Passo 2

A probabilidade exata pela Binomial é dada por P(X<=2)=sumk=0^2binom20kp^k(1-p)^20-k. Calculando cada termo:
binom200(0,2)^0(0,8)^20approx0,0115,
binom201(0,2)^1(0,8)^19=20cdot0,2cdot0,8^19approx0,0576,
binom202(0,2)^2(0,8)^18=190cdot0,04cdot0,8^18approx0,1368

Passo 3

Somando: 0,0115+0,0576+0,1368approx0,206.

Passo 4

Para a aproximação normal, primeiro calculamos a média e o desvio padrão:
mu=np=20cdot0,2=4,
sigma=raiznp(1-p)=raiz20cdot0,2cdot0,8=raiz3,2approx1,789

Passo 5

Usando correção de continuidade, queremos P(X<=2)approx P(Y<=2,5) para Ysim N(4,,3,2). Então
Z=2,5-41,789approx-0,838

Passo 6

Consultando a tabela Normal, P(Z<=-0,838)approx0,202.

Passo 7

Comparando os dois valores: Binomial deu 0,206 e Normal deu 0,202. A diferença é só 0,004, bem pequena, então a aproximação foi boa – especialmente porque usamos a correção de continuidade, mesmo com np=4 ficando um pouco abaixo da recomendação de np>=5.

Resposta

Pela binomial: 0,206; pela normal (com correção): 0,202. A aproximação foi boa, pois a diferença é pequena (0,004), graças à correção de continuidade.

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