Para os casos abaixo encontre a probabilidade pela distribuição binomial e pela aproximação pela normal. Identifique se o resultado da aproximação foi bom ou não, e explique por quê.
Com n = 20 e p = 0,35, determine P(15.

Passo 1

A gente tem a variável aleatória XsimBin(n=20,p=0.35) e quer calcular P(15< X<=18), isto é P(16<= X<=18). O conteúdo aqui é probabilidade binomial exata e aproximação normal com correção de continuidade.

Passo 2

Pela definição de binomial,
P(16<= X<=18)=sumk=16^18binom20k(0.35)^k(0.65)^20-k
Calculando cada termo:
P(X=16)=binom2016(0.35)^16(0.65)^4approx4.98times10^-5,

Passo 3

P(X=17)=binom2017(0.35)^17(0.65)^3approx5.55times10^-6,

Passo 4

P(X=18)=binom2018(0.35)^18(0.65)^2approx4.98times10^-7

Passo 5

Somando esses valores obtemos o valor exato
Pbinapprox4.98times10^-5

Passo 6

Para a aproximação normal, usamos o Teorema Central do Limite:
mu=np=7, sigma^2=np(1-p)=4.55, sigma=raiz4.55approx2.133
Com correção de continuidade a gente passa para
P(15.5

Passo 7

onde Ysim N(7,2.133^2). Calculando os escores-z:
z1=15.5-72.133approx3.99, z2=18.5-72.133approx5.39

Passo 8

Logo a probabilidade é
Pnorm=Phi(5.39)-Phi(3.99)approx(1-3.5times10^-8)-(1-3.3times10^-5)approx3.30times10^-5

Passo 9

Comparando: o valor exato é 4.98times10^-5 e a aproximação normal deu 3.30times10^-5. Como estamos muito na cauda da distribuição e n=20 não é tão grande, a normal subestimou a probabilidade — ou seja, a aproximação não foi boa.

Resposta

Pela binomial: 4.98times10^-5; pela normal: 3.30times10^-5. A aproximação normal foi ruim porque o evento está muito distante da média e n=20 não é grande o suficiente para aproximar bem caudas.

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