é uma base para o conjunto dos polinômios de grau . Encontre as coordenadas do polinômio nesta base.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
é base de e em seguida encontrar as coordenadas do polinômio
nessa base. Como , basta provar que os quatro polinômios são linearmente independentes (ou equivalentemente que a matriz de seus coeficientes é invertível).
Passo 2
Expressamos cada polinômio em coordenadas relativas à base canônica :
Formamos a matriz cujas colunas são esses vetores:
Calculamos seu determinante por expansão na primeira linha:
det M =1cdot 2 & -3 & -3 -1 & 0 & 4 3 & 0 & -1 =-33neq0
Passo 3
Como det Mneq0, os polinômios são linearmente independentes em um espaço de dimensão 4, logo formam base de P3(R).
Passo 4
Para achar as coordenadas de
f(t)=-t^3+2t^2-3t
nessa base, escrevemos
f(t)=a,p1+b,p2+c,p3+d,p4
Agrupando coeficientes de t^3,t^2,t,1, obtemos o sistema