Mostre que o conjunto
t^3, 2 t^2-t+3, t^3-3 t^2,-3 t^2+4 t-1
é uma base para o conjunto dos polinômios de grau 3, P3(R). Encontre as coordenadas do polinômio f(t)=-t^3+2 t^2-3 t nesta base.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
,t^3,;2t^2-t+3,;t^3-3t^2,;-3t^2+4t-1
é base de P3(R) e em seguida encontrar as coordenadas do polinômio
f(t)=-t^3+2t^2-3t
nessa base. Como dim P3(R)=4, basta provar que os quatro polinômios são linearmente independentes (ou equivalentemente que a matriz de seus coeficientes é invertível).

Passo 2

Expressamos cada polinômio pi em coordenadas relativas à base canônica t^3,t^2,t,1:
p1=t^3mapsto(1,0,0,0), p2=2t^2-t+3mapsto(0,2,-1,3),
p3=t^3-3t^2mapsto(1,-3,0,0), p4=-3t^2+4t-1mapsto(0,-3,4,-1)
Formamos a matriz M cujas colunas são esses vetores:
M = 1 & 0 & 1 & 0 0 & 2 & -3 & -3 0 & -1 & 0 & 4 0 & 3 & 0 & -1
Calculamos seu determinante por expansão na primeira linha:
det M =1cdot 2 & -3 & -3 -1 & 0 & 4 3 & 0 & -1 =-33neq0

Passo 3

Como det Mneq0, os polinômios são linearmente independentes em um espaço de dimensão 4, logo formam base de P3(R).

Passo 4

Para achar as coordenadas de
f(t)=-t^3+2t^2-3t
nessa base, escrevemos
f(t)=a,p1+b,p2+c,p3+d,p4
Agrupando coeficientes de t^3,t^2,t,1, obtemos o sistema
a+c=-1, 2b-3c-3d=2, -b+4d=-3, 3b-d=0

Passo 5

Da última equação 3b-d=0 vem
d=3b
Substituindo em -b+4d=-3
-b+4(3b)=-3Longrightarrow 11b=-3 Longrightarrow b=-311, d=-911

Passo 6

Agora em 2b-3c-3d=2 substituímos b e d:
2l(-tfrac311r)-3c-3l(-tfrac911r)=2 ;Longrightarrow; -,tfrac611-3c+tfrac2711=2 ;Longrightarrow; -3c=tfrac111 ;Longrightarrow; c=-tfrac133
Finalmente, de a+c=-1 obtém-se
a=-1-c=-1+tfrac133=-tfrac3233

Resposta

O conjunto dado é de fato uma base de P3(R) e as coordenadas de
,f(t)=-t^3+2t^2-3t nessa base são
l(a,b,c,dr) =l(-tfrac3233,,-tfrac311,,-tfrac133,,-tfrac911r)

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