Nos casos abaixo, pede-se: verificar se A é inversível; cof(A), a matriz cofatora de A, e A^-1, a matriz inversa de A (usando cof(A) ), se esta existir.
A=[ccccos theta & sin theta & 0 -sin theta & cos theta & 0 0 & 0 & 1];

Passo 1

O enunciado pede para a matriz
A= costheta & sintheta & 0 -sintheta & costheta & 0 0 & 0 & 1
verificar se ela é inversível, calcular cof(A) (a matriz adjunta ou comatriz) e então obter A^-1 pela fórmula
A^-1=1det(A),cof(A)
O conteúdo usado será determinante, menores e cofatores, além da definição de adjunta.

Passo 2

Calcular o determinante de A. Expandindo pela terceira linha (só sobra a33=1) temos
det(A)=1cdot costheta & sintheta -sintheta & costheta =cos^2theta+sin^2theta=1
Como det(A)=1neq0, concluímos que A é inversível para todo theta.

Passo 3

Calcular os cofatores Cij=(-1)^i+jMij, onde Mij é o determinante da submatriz obtida removendo linha i e coluna j:
C11:
M11=detcostheta&00&1=costheta, C11=+costheta
C12:
M12=det-sintheta&00&1=-sintheta, C12=(-1)^1+2M12=+sintheta
C13 =0 (coluna de zeros).
C21:
M21=detsintheta&00&1=sintheta, C21=(-1)^2+1M21=-sintheta
C22:
M22=detcostheta&00&1=costheta, C22=+costheta
C23 =0.
C31 = C32 =0.
C33:
M33=detcostheta&sintheta-sintheta&costheta=1, C33=+1
Assim, a matriz dos cofatores (antes de transpor) é
(Cij)= costheta & sintheta & 0 -sintheta & costheta & 0 0 & 0 & 1

Passo 4

A matriz adjunta (comatriz), que chamamos de cof(A), é a transposta dos cofatores:
cof(A)= costheta & -sintheta & 0 sintheta & costheta & 0 0 & 0 & 1

Passo 5

Como det(A)=1, a inversa fica
A^-1=1det(A),cof(A) =cof(A) = costheta & -sintheta & 0 sintheta & costheta & 0 0 & 0 & 1

Resposta

A é inversível ( det A=1).
cof(A)= costheta & -sintheta & 0 sintheta & costheta & 0 0 & 0 & 1 , A^-1= costheta & -sintheta & 0 sintheta & costheta & 0 0 & 0 & 1

Exercícios relacionados