Seja T um operador linear de R^2, com autovalores lambda1=5 e lambda2=-1. Considere que (1,1) in V5 e (2,-1) in V-1.
Determine o Núcleo e a Imagem de T.

Passo 1

O enunciado diz que Tcolon R^2toR^2 é linear, com autovalores lambda1=5 e lambda2=-1, tendo autovetores (1,1)in V5 e (2,-1)in V-1. Queremos encontrar ker(T) e Im(T).

Passo 2

Para determinar ker(T) resolvemos T(x)=0. Em geral, ker(T) é o espaço próprio associado a lambda=0. Como 0 não está entre os autovalores de T, não há vetor próprio não-nulo com valor próprio 0. Portanto só resta o vetor trivial:
ker(T)=0

Passo 3

A
Das componentes vem o sistema
Da segunda equação , logo . Assim e são independentes e geram um subespaço de dimensão , isto é,

Resposta

ker(T)=0
Im(T)=R^2

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