Encontre o polinômio minimal de cada um dos operadores abaixo e identifique os que são diagonalizáveis. Quando o operador for diagonalizável, determine uma base do espaço em relação a qual a matriz do operador é diagonal e escreva essa matriz.
, definida por
.
Passo 1
O enunciado pede o polinômio minimal de
dado por
e quer saber se
é diagonalizável sobre
. O conteúdo necessário é: escrita da matriz de
na base canônica, cálculo do polinômio característico, identificação do polinômio minimal e critério de diagonalização (polinômio minimal deve se decompor em fatores lineares distintos no corpo).
Passo 2
Na base canônica
temos
logo a matriz de
é
O polinômio característico é
Como
é de grau
e anula
, o polinômio minimal é
Para diagonalizar sobre
precisaríamos que
se fatorasse em fatores lineares reais distintos, mas
não se decompõe em
. Portanto
não é diagonalizável sobre
.]
Resposta
O polinômio minimal é
.
não é diagonalizável em
.