Encontre o polinômio minimal de cada um dos operadores abaixo e identifique os que são diagonalizáveis. Quando o operador for diagonalizável, determine uma base do espaço em relação a qual a matriz do operador é diagonal e escreva essa matriz.
T: R^2 longrightarrow R^2, definida por T(x, y)=(-y, x).

Passo 1

O enunciado pede o polinômio minimal de T: R^2to R^2 dado por
T(x,y)=(-y,x),
e quer saber se T é diagonalizável sobre R. O conteúdo necessário é: escrita da matriz de T na base canônica, cálculo do polinômio característico, identificação do polinômio minimal e critério de diagonalização (polinômio minimal deve se decompor em fatores lineares distintos no corpo).

Passo 2

Na base canônica e1=(1,0),e2=(0,1) temos
T(e1)=(0,1)=e2, T(e2)=(-1,0)=-e1,
logo a matriz de T é
A=0 & -1[6pt]1 & 0
O polinômio característico é
det(A-lambda I) =det-lambda & -1[4pt]1 & -lambda =lambda^2+1
Como lambda^2+1 é de grau 2 e anula A, o polinômio minimal é
mT(lambda)=lambda^2+1
Para diagonalizar sobre R precisaríamos que mT se fatorasse em fatores lineares reais distintos, mas lambda^2+1 não se decompõe em R. Portanto T não é diagonalizável sobre R.]

Resposta

O polinômio minimal é mT(lambda)=lambda^2+1.
T não é diagonalizável em R^2.

Exercícios relacionados