Nos casos abaixo são apresentados subconjuntos de
. Verificar quais deles são subespaços vetoriais do
. Ou seja, se for subespaço mostre. Caso contrário, mostrar a propriedade que falha ou citar um contra-exemplo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Precisamos verificar três propriedades: se
contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em
. O vetor zero em
é
. Substituindo na equação de
:
Então,
satisfaz a equação, ou seja, o vetor zero está em
.
Passo 3
Agora, vamos checar se
é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer
e
em
, a soma deles também deve estar em
.
Sabemos que:
A soma desses vetores é:
Vamos verificar se
:
Isso mostra que a soma dos vetores está em
, então
é fechado sob adição.
Passo 4
Por último, vamos verificar se
é fechado sob multiplicação por escalar. Isto é, se multiplicarmos qualquer vetor
em
por um escalar
, o resultado também deve estar em
.
Se
, então:
Multiplicando por
:
Portanto,
também satisfaz a equação de
, ou seja, está em
.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar,
é um subespaço vetorial de
.