Nos casos abaixo são apresentados subconjuntos de R^2. Verificar quais deles são subespaços vetoriais do R^2. Ou seja, se for subespaço mostre. Caso contrário, mostrar a propriedade que falha ou citar um contra-exemplo.
W=(x, y) in R^2 / x+3 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para verificar se o conjunto W = (x, y) in R^2 mid x + 3y = 0 é um subespaço vetorial de R^2 . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais. Precisamos verificar três propriedades: se W contém o vetor zero, se é fechado sob adição e se é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o vetor zero está em W . O vetor zero em R^2 é (0, 0) . Substituindo na equação de W :
0 + 3 times 0 = 0
Então, (0, 0) satisfaz a equação, ou seja, o vetor zero está em W .

Passo 3

Agora, vamos checar se W é fechado sob adição. Ou seja, se pegarmos dois vetores quaisquer (x1, y1) e (x2, y2) em W , a soma deles também deve estar em W .
Sabemos que:
x1 + 3y1 = 0 e x2 + 3y2 = 0
A soma desses vetores é:
(x1 + x2, y1 + y2)
Vamos verificar se x1 + x2 + 3(y1 + y2) = 0 :
x1 + x2 + 3y1 + 3y2 = (x1 + 3y1) + (x2 + 3y2) = 0 + 0 = 0
Isso mostra que a soma dos vetores está em W , então W é fechado sob adição.

Passo 4

Por último, vamos verificar se W é fechado sob multiplicação por escalar. Isto é, se multiplicarmos qualquer vetor (x, y) em W por um escalar c , o resultado também deve estar em W .
Se (x, y) in W , então:
x + 3y = 0
Multiplicando por c :
c x + 3 c y = c(x + 3y) = c times 0 = 0
Portanto, (c x, c y) também satisfaz a equação de W , ou seja, está em W .

Resposta

Como W contém o vetor zero, é fechado sob adição e multiplicação por escalar, W é um subespaço vetorial de R^2 .

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