Nos casos abaixo são apresentados subconjuntos de . Verificar quais deles são subespaços vetoriais do . Ou seja, se for subespaço mostre. Caso contrário, mostrar a propriedade que falha ou citar um contra-exemplo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto e queremos descobrir se esse conjunto é um subespaço vetorial de R^2 .
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especificamente a parte que fala sobre subespaços vetoriais.
O que precisamos fazer: Verificar se W satisfaz as três condições para ser um subespaço vetorial:
Contém o vetor zero.
É fechado sob adição (ou seja, se você pegar dois vetores de W e somar, o resultado também está em W ).
É fechado sob multiplicação por escalar (ou seja, se você multiplicar um vetor de W por um número real, o resultado também está em W ).
Passo 2
Primeira condição: Contém o vetor zero.
O vetor zero em R^2 é (0, 0) . Vamos ver se ele está em W .
Se x = 0 , então
(x, x^2) = (0, 0^2) = (0, 0)
Então, (0, 0) in W . Legal, a primeira condição tá satisfeita!
Passo 3
Segunda condição: Fechado sob adição.
Precisamos ver se, ao somar dois vetores quaisquer de W , o resultado ainda está em W .
Vamos pegar dois vetores quaisquer de W :
u = (x, x^2) e v = (y, y^2)
A soma deles é:
u + v = (x + y, x^2 + y^2)
Para que u + v esteja em W , deve existir algum z tal que:
(x + y, x^2 + y^2) = (z, z^2)
Ou seja, precisamos que:
z = x + y e z^2 = x^2 + y^2
Mas, se z = x + y , então:
z^2 = (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2
Comparando com x^2 + y^2 , vemos que:
x^2 + y^2 neq x^2 + 2xy + y^2 a menos que xy = 0
Ou seja, apenas se x ou y for zero, a igualdade vale. Mas isso nem sempre acontece.
Exemplo de contra-exemplo:
Escolha x = 1 e y = 1 . Então:
u = (1, 1) e v = (1, 1)
Soma:
u + v = (2, 2)
Agora, para (2, 2) estar em W , teria que existir um z tal que (2, 2) = (z, z^2) . Mas isso implicaria:
z = 2 e z^2 = 4 neq 2
Então, (2, 2) não está em W . A segunda condição não é satisfeita.
Resposta
Como a condição de fechamento sob adição não é atendida, W não é um subespaço vetorial de R^2 .