Encontre A^-1, sendo que:
A=|rrrr 4 & -1 & 2 & -2 3 & -1 & 0 & 0 2 & 3 & 1 & 0 0 & 7 & 1 & 1 |

Passo 1

O enunciado pede A^-1 para
A= 4 & -1 & 2 & -2 3 & -1 & 0 & 0 2 & 3 & 1 & 0 0 & 7 & 1 & 1
Vamos usar eliminação de Gauss–Jordan: montamos [Amid I] e aplicamos operações sobre linhas até obter [Imid A^-1].

Passo 2

Primeiro, transformamos o pivô em (1,1) e zeramos abaixo:
[cccc|cccc 4 & -1 & 2 & -2 & 1&0&0&0 3 & -1 & 0 & 0 & 0&1&0&0 2 & 3 & 1 & 0 & 0&0&1&0 0 & 7 & 1 & 1 & 0&0&0&1 ] ;xrightarrowL1to14L1; [cccc|cccc 1 & -tfrac14 & tfrac12 & -tfrac12 & tfrac14&0&0&0 3 & -1 & 0 & 0 & 0&1&0&0 2 & 3 & 1 & 0 & 0&0&1&0 0 & 7 & 1 & 1 & 0&0&0&1 ]
L2to L2-3L1, L3to L3-2L1 ;Longrightarrow; [cccc|cccc 1 & -tfrac14 & tfrac12 & -tfrac12 & tfrac14&0&0&0 0 & -tfrac14 & -tfrac32 & tfrac32 & -tfrac34&1&0&0 0 & tfrac72 & 0 & 1 & -tfrac12&0&1&0 0 & 7 & 1 & 1 & 0&0&0&1 ]

Passo 3

Agora escolhemos pivô em (2,2). Para facilitar, trocamos L2rightarrow L3 e normalizamos:
[cccc|cccc 1&-tfrac14&tfrac12&-tfrac12&tfrac14&0&0&0 0&tfrac72&0&1&-tfrac12&0&1&0 0&-tfrac14&-tfrac32&tfrac32&-tfrac34&1&0&0 0&7&1&1&0&0&0&1 ] ;xrightarrowL2to27L2; [cccc|cccc 1&-tfrac14&tfrac12&-tfrac12&tfrac14&0&0&0 0&1&0&tfrac27&-tfrac17&0&tfrac27&0 0&-tfrac14&-tfrac32&tfrac32&-tfrac34&1&0&0 0&7&1&1&0&0&0&1 ]
Em seguida, zeramos a coluna 2 em L1,L3,L4:
L1to L1+tfrac14L2, L3to L3+tfrac14L2, L4to L4-7L2
Longrightarrow [cccc|cccc 1&0&tfrac12&-tfrac37&tfrac314&0&tfrac114&0 0&1&0&tfrac27&-tfrac17&0&tfrac27&0 0&0&-tfrac32&tfrac117&-tfrac1114&1&tfrac114&0 0&0&1&-1&1&0&-2&1 ]

Passo 4

Para o pivô em (3,3), trocamos L3rightarrow L4 (pivô 1) e zeramos a coluna 3 em cima:
[cccc|cccc 1&0&tfrac12&-tfrac37&tfrac314&0&tfrac114&0 0&1&0&tfrac27&-tfrac17&0&tfrac27&0 0&0&1&-1&1&0&-2&1 0&0&-tfrac32&tfrac117&-tfrac1114&1&tfrac114&0 ]
L1to L1-tfrac12L3, L4to L4+tfrac32L3 ;Longrightarrow; [cccc|cccc 1&0&0&tfrac114&-tfrac27&0&tfrac1514&-tfrac12 0&1&0&tfrac27&-3&-4&12&-6 0&0&1&-1&1&0&-2&1 0&0&0&tfrac114&tfrac57&1&-tfrac4114&tfrac32 ]

Passo 5

Por fim, pivot em (4,4): normalizamos L4to14L4 e zeramos a coluna 4 em L1,L2,L3:
L4to14L4 ;Longrightarrow; [cccc|cccc dots&&& &&& &&& 0&0&0&1&10&14&-41&21 ]
L1to L1-tfrac114L4, L2to L2-tfrac27L4, L3to L3+L4
O sistema reduz-se a
[cccc|cccc 1&0&0&0&-1&-1&4&-2 0&1&0&0&-3&-4&12&-6 0&0&1&0&11&14&-43&22 0&0&0&1&10&14&-41&21 ]

Resposta

A^-1 = -1 & -1 & 4 & -2 -3 & -4 & 12 & -6 11 & 14 & -43 & 22 10 & 14 & -41 & 21

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