Nos casos abaixo, veirifique se f: G J é um homomorfismo:
G=lang<=R,+rang<=, J==lang<=R,+rang<=, f(x)=|x|.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a função f: G J , onde G = lang<=R,+rang<= e J = lang<=R,+rang<= , definida por f(x) = |x| , é um homomorfismo. Basicamente, isso significa que precisamos ver se essa função preserva a operação de adição entre os grupos. Para resolver isso, vamos usar a definição de homomorfismo de grupos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um homomorfismo. Em termos simples, um homomorfismo entre dois grupos é uma função que preserva a estrutura do grupo. No caso, como estamos lidando com grupos aditivos, a operação que precisa ser preservada é a adição. Ou seja, para todo x, y in G , a função f deve satisfazer:
f(x + y) = f(x) + f(y)
Se isso for verdadeiro para todos os x e y , então f é um homomorfismo.

Passo 3

Vamos testar essa condição com alguns números reais. Por exemplo, vamos escolher x = 1 e y = -1 :
f(1 + (-1)) = f(0) = |0| = 0
Agora, vamos calcular f(1) + f(-1) :
f(1) + f(-1) = |1| + |-1| = 1 + 1 = 2
Vemos que f(1 + (-1)) = 0 é diferente de f(1) + f(-1) = 2 . Isso já mostra que a condição para ser um homomorfismo não é satisfeita.

Resposta

A função f(x) = |x| não é um homomorfismo entre os grupos G e J .

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